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Derivación Numérica
La derivación o diferenciación numérica consiste en evaluar derivadas de una función
usando únicamente los valores que toma la función en una serie de puntos. La técnica
deaproximar las derivadas por diferencias tiene muchas aplicaciones, en particular a la
resolución numérica de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.

Consideremos una funciónf(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores
(x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio notiene porqué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivadautilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas.

¿Qué es la serie de Taylor?
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x)infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en elpunto a.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

Es importantetener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Si se conocen los valores de f en x0 - h , x0 y x0 + h se pueden obtener aproximaciones por diferencias hacia adelante,hacia atrás y central.
diferencia hacia adelante
diferencia hacia atrás
central
Si recordamos la definición de derivada de una función f(x) en el punto x:

Tendremos una primera aproximación alvalor de f´(x) (derivada), lo tendremos con al expresión:

De cara a analizar el error de esta aproximación, supongamos que f(x) es derivable dos veces en torno al punto X y apliquemos la fórmula de...