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CENTRO DE ENSEÑANZA TECNICA INDUSTRIAL

DANIEL DE JESUS FAUSTO BADILLO
REGISTRO: 11300312
PRACTICA NO. 2
PERRIODICIDAD Y TEOREMA DE MUESTREO
ANALISIS DIGITAL DE SENALES
JOSE MA. VALENCIA

GUADALAJARA JAL., A 25 DE FEBRERO DEL 2015.

OBJETIVO.
Al finalizar la práctica el alumno debe ser capaz de:
1.
2.
3.
4.

Identificar señales discretas periódicas y no periódicas.
Determinar el periodofundamental de una señal discreta periódica.
Explicar el fenómeno de alias de una secuencia discreta.
Utilizar Matlab para realizar la representación gráfica de señales discretas.

RESUMEN.
a) Periodicidad de las señales discretas.
Una señal periódica de tiempo discreto 𝑥[𝑛] tiene la propiedad de que existe un número positivo N
para el cual
𝑥[𝑛] = 𝑥(𝑛 ± 𝑁) Para toda n

Figura 1.
El periodo fundamental 𝑁0de 𝑥[𝑛] es el menor entero positivo N para el cual se cumple la ecuación
anterior. Cualquier secuencia (señal de tiempo discreto) que no sea periódica se conoce como una
secuencia no periódica (o aperiódica).
Una señal tiene periodicidad cuando su frecuencia puede expresarse como un número racional,
repitiéndose cada N (muestras). El periodo fundamental de una señal es cada que hay dicha N.Señales periódica compuestas
Cualquier señal 𝑥[𝑛] que sea igual a la suma de dos señales periódicas, 𝑥1 [𝑛] y 𝑥2 [𝑛], con periodos
fundamentales 𝑁1 y 𝑁2 respectivamente, será periódica si se cumple la siguiente relación:
𝑁1
𝑚
= 𝑛 → 𝑁 = 𝑛𝑁1 = 𝑚𝑁2 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑁
2

b) Fenómeno de alias.
El concepto central en el procesamiento digital de señales analógicas es que la señal muestreada debe
ser unarepresentación única de la señal analógica. El teorema de muestreo afirma que para una
correspondencia única entre una señal analógica y la versión reconstruida a partir de sus muestras
(empleando la misma velocidad de muestreo), la velocidad de muestreo debe exceder dos veces la
frecuencia más alta de la señal 𝑓𝑚𝑎𝑥 . La velocidad crítica 𝑆 = 2𝑓𝑚𝑎𝑥 se le llama velocidad de Nyquist
1
o frecuencia deNyquist, y 𝑡𝑠 = 2𝑓
recibe el nombre de intervalo de Nyquist.
𝑚𝑎𝑥

El que la frecuencia de la señal analógica reconstruida corresponda o no a 𝑥(𝑡) depende de la
velocidad de muestreo S. Si 𝑆 > 2𝑓0 , la frecuencia digital 𝐹0 =𝑓0 ⁄𝑆 siempre está en el intervalo
principal −0.5 ≤ 𝐹 ≤ 0.5, y la señal analógica reconstruida es idéntica a 𝑥(𝑡). Si 𝑆 < 2𝑓0, la
frecuencia digital es mayor que 0.5. Su imagen en elintervalo principal aparece en la frecuencia
digital inferior 𝐹𝑠 = 𝐹0 − 𝑀 (correspondiendo a la frecuencia analógica inferior 𝑓𝑎 = 𝑓0 = 𝑀𝑆)
donde M es un entero que pone la frecuencia digital 𝐹𝑠 entre -0.5 y 0.5 (o la frecuencia analógica
𝑓𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 0.5𝑆 𝑦 0.5𝑆). La señal analógica reconstruida 𝑥𝑎 (𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑎 𝑡 + 𝜃) esta a una
frecuencia inferior 𝑓𝑎 = 𝑆𝐹𝑎 que 𝑓0 y ya no es una réplica de 𝑥(𝑡).Este fenómeno, donde una senoide
reconstruida aparece a una frecuencia inferior que la original, se denomina creación de un alias. El
problema real es que la señal original 𝑥(𝑡) y la senal alias 𝑥𝑎 (𝑡) producen representaciones

muestreadas idénticas a la frecuencia de muestreo S y evita la identificación única de 𝑥(𝑡) de sus
muestras.
La creación de un alias ocurre si la señal analógica cos(2𝜋𝑓0𝑡 + 𝜃) se muestrea por debajo de la
velocidad de Nyquist.

Figura 2.
DESARROLLO TEORICO.
1. Determinar el periodo fundamental de señales discretas.
Para obtener el periodo fundamental de una señal se obtiene de la siguiente formula: 𝜔 = 2𝜋𝑓 en
𝜔
dado caso de no tener la frecuencia, podemos despejarla y así obtener la frecuencia 𝑓 = 2𝜋, para
después conocer su frecuencia fundamental. Usaremos esterazonamiento para conocer la frecuencia
fundamental de las siguientes señales.
a) 𝑥(𝑛) = cos(0.9𝜋 ∙ 𝑡)
0.9𝜋
9
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 0.9𝜋 ∴ 𝑓 = 2𝜋 = 0.45 = 20 N=20
b) 𝑔(𝑛) = 2.5cos(√3𝜋 ∙ 𝑡)
√3𝜋

√𝟑

𝜔 = 2𝜋𝑓 = √3𝜋 ∴ 𝑓 = 2𝜋 = 2
Esta señal debido a que su frecuencia no se puede expresar
como un número racional no es una señal periódica.
c) 𝑎(𝑛) = √7 cos(0.18𝜋 ∙ 𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(0.25𝜋 ∙ 𝑡)
En esta señal, ya que es una...