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CENTRO DE ENSEÑANZA TECNICA INDUSTRIAL

DANIEL DE JESUS FAUSTO BADILLO
REGISTRO: 11300312
PRACTICA NO. 6
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
ANALISIS DIGITAL DE SENALES
JOSE MA. VALENCIA

GUADALAJARA JAL., A 27 DE MAYO DEL 2015.

OBJETIVO.
Al finalizar la práctica el alumno debe ser capaz de:
1. Utilizar la trasformada discreta de Fourier para representar señales discretas en el
dominio de lafrecuencia.
2. Comprender la transformada rápida de Fourier.
RESUMEN.
 Transformada discreta de Fourier (DFT): ecuación, aplicaciones, operación inversa,
propiedades.
DFT con un millón de puntos son comunes en muchas aplicaciones. Señal y procesamiento de
imágenes Las aplicaciones modernas serían imposibles sin un método eficiente para el cálculo de la
DFT.
La aplicación directa de la definición de laDFT a un vector de datos de longitud n requiere n
multiplicaciones y n -adiciones un total de 2 𝑛2 operaciones de punto flotante. Esto no incluye la
generación de los poderes del complejo n º raíz de la unidad ω. Para calcular una DFT millones de
puntos, un equipo capaz de hacer una multiplicación y suma cada microsegundo requiere un millón
de segundos, o alrededor de 11,5 días.
Se define latransformada discreta de Fourier (DFT) de una señal x(n) de la siguiente manera
N 1

X ( k )   x ( n)  e

 j 2 k n
N

n 0

Y la transformada (IDFT) inversa queda definida de la siguiente forma
j 2 k n
1 N 1
x ( n)   X ( k )  e N
N n 0
o Propiedades
Simetría conjugada

X T [k ]  X T* [k ]  X T [ N  k ]

Linealidad

 x[n]   y[n]   X T [k ]   YT [k ]

Desplazamiento

x[n m]  X T [k ]  exp( j 2 km / N )  X T [k ] WNkm

Modulación

WN nm  x[n]  X T [k  m]

Producto

x[n]  y[n] 

1
N

X T [k ]  YT [k ]

Simetría

x[n]  X T [k ]  X T* [k ]

Conjugado

x*[n]  X T* [k ]

Convolución circular

x[n]  y[n]  X T [k ]  YT [k ]

Correlación

x[n]  y*[n]  X T [k ]  YT*[k ]

Ecuación de
Parseval



 x[n]

2



1
2
X T [k ]

N

Algoritmo de latransformada rápida de Fourier (FFT).

El algoritmo para llevar a cabo la operación de la FFT es la siguiente: X [k ] 





x ( n )e

j

2
kn
N

n 

Donde x(n) es la señal inicial, N es la cantidad de puntos a usar, k el valor de la muestra actual que
va desde 0 hasta N-1, y n que es el índice de la muestra actual de la señal x(n).

 Implementación de la FFT en matlab: ajuste de escala defrecuencia en matlab.
o Sintaxis
Y = fft (x)
Y = fft (x, n)
Y = fft (X, [], dim)
Y = fft (X, n, dim)
o Definiciones
Las funciones Y = fft (x) y y = IFFT (X) implementan el par transformar y transformada inversa dado
para vectores de longitud N por:
N

X (k )   x( j )N( j 1)( k 1)
j 1

N

x( j )  (1 N ) X (k )N ( j 1)( k 1)
k 1

Donde N  e( 2 i )/ N es un N º raíz de la unidad.
oDescripción
Y = fft (x) devuelve el discretoTransformada de Fourier (DFT) de vector x , calculado con una
transformación (FFT) algoritmo de Fourier rápida.
Si la entrada X es una matriz, Y = fft (X) devuelve la transformada de Fourier de cada columna de la
matriz.
Si la entrada X es una matriz multidimensional, fft opera en la primera dimensión más de un elemento.
Y = fft (X, n) devuelve el n -pointDFT. fft (X) es equivalente a fft (X, n) donde n es el tamaño de X
en la primera dimensión más de un elemento. Si la longitud de X es menor que n , X se rellena con
ceros a la longitud n . Si la longitud de X es mayor que n , la secuencia X se trunca. Cuando X es una
matriz, la longitud de las columnas se ajustan de la misma manera.
Y = fft (X, [], dim) y Y = fft (X, n, dim) se aplica la operaciónFFT través de la dimensión oscura .
o Ejemplo
Un uso común de transformadas de Fourier es encontrar los componentes de frecuencia de una
señal enterrado en una señal de dominio de tiempo ruidoso. Considere datos muestreados a 1000
Hz. Formar una señal que contiene un 50 Hz sinusoide de amplitud 0,7 y 120 Hz sinusoide de
amplitud 1 y corrupto con un poco de ruido aleatorio de media cero:
Fs =...