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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CALCULO I

CAPITULO I

LOS NUMEROS REALES

1.1. INTRODUCCION

El conjunto de los números reales R contiene a su vez otros conjuntos como los números naturales N; los números enteros Z; los números racionales Q y los números irracionales Qc, clasificándose:Enteros positivos o números naturales, ejemplo: 1,2,3….
Enteros negativos, ejemplo: -1,-2,-3…………
Racionales Cero (0)
a 1 11
Números Reales Fraccionarios de la forma ----, ejemplo: ----, ----, - ----, 0.33…
b 2 3 8a
Irracionales Son números que no pueden escribirse en la forma -----, ejemplo: √2, π,….
b

Es importante observar que N esta incluido en Z, a su vez ambos estánincluidos en Q y todos están incluidos en R, junto a Qc. Además en Z se encuentran los Z+ y los Z-.

Los números reales se representan gráficamente en la llamada recta real:

- ∞ + ∞
-4 -3 -2 -1 01 2 3

Sentido de crecimiento ordenado

Siendo los reales un conjunto ordenado nos permite establecer si un número es mayor, menor o igual que otro, cuya simbología se representan por:

> Que significa Mayor que
< Que significa Menor que
≥ Que significaMayor o igual que
≤ Que significa menor o igual que

Es importante mencionar que si x > 0, claramente x є R+, esto es, x es positivo si y solo si x > 0
También si x < 0, luego x є R-, esto es, x es negativo si y solo si x < 0.




1.2. LEYES, TEOREMAS Y AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES

Sea a, b y c, tres números reales cualesquiera para los cuales secumplen las siguientes
Propiedades:
a).- Ley de tricotomia: a = b o a > b o a < b
b).- Ley transitiva: si a < b y b < c, entonces a < c
c).- Si a < b, es evidente que: a + c < b + c
a – c < b – c
ac < bc
a b---- < ----
c c
Es decir que una desigualdad no se altera si a sus dos miembros se le suma, resta, multiplica
o divide por un mismo numero c є R, positivo.
d).- Si a < b, entonces ac > bc para c є R, negativo
e).- Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
f).-Si a ≠ 0, entonces a2 > 0
g).- Si ab > 0, entonces a y b son positivos o ambos son negativos
h).- Conmutatividad: a + b = b + a, también ab = ba
i).- Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c
j).- Distributividad: a(b + c) = ab + ac
k).- Existencia de la identidad, para todo numero real: a · 1 = a
l).- Existencia del neutro: a + 0 = a
m).- Existencia de negativos; para cada número a,...