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UDC - EUDI - Análisis Asistido por Ordenador

El Método de los Elementos Finitos

El método de los elementos finitos (MEF)
El MEF (FEM en inglés) es un método numérico genérico
para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales




Las ecs. diferenciales en derivadas parciales son comunes en ingeniería
El MEF es la base de muchas herramientas informáticas de simulaciónCAE



Historia:
 1942: primer trabajo de Richard Courant
 50’s: aplicaciones en análisis estructural (aeroespacial, civil)
 60’s: desarrollo del software NASTRAN (NAsa STRuctural ANalysis)
70 s:
 70´s: aplicaciones en otras disciplinas
 80´s: nace el CAD 3D
 90’s: domesticación del MEF e incorporación a la PYME

http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_methodUNIVERSIDADE DA CORUÑA – Manuel González Castro

Análisis Asistido por Ordenador – El método de los elementos finitos – 1

Contexto


Estudiaremos el MEF aplicado al cálculo estructural estático lineal


Estático:
 Se estudia el estado de equilibrio alcanzado tras aplicar las cargas



Lineal:
 Material con comportamiento lineal
 Pequeñas deformaciones
 Condiciones de contornolineales



Datos de entrada:
 Propiedades del material (módulo de Young E, coefficiente de Poisson)
 Cargas (fuerzas, cargas térmicas, aceleraciones …)
 Restricciones (apoyos …)



Resultados: desplazamiento, deformación y tensión
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1

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El Método de los Elementos Finitos

Ejemplo



Viga de sección variable sometida a tracción
Calcular desplazamiento en el extremo libre

Acero AISI 304

F = 1000 N

Sección
200x200 mm2
(empotrada)

Sección
80x80 mm2

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Sección
50x50 mm2
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Modelo matemático
En cada sección transversal:

A(x)

área

u(x)

F

(dato)

desplazamiento (incógnita)

x


Para la viga propuesta:
A(x) = 0,0594 x2 – 0,0969 x + 0,04



El comportamiento elástico de la viga está definido por la siguiente ecuación
diferencial en derivadas parciales:

 dA du
d 2u 
E    A 2   f  A  0
 dx dx
dx 


Si A(x) no es constante o lineal, la ecuación no tiene solución analítica

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El Método de los Elementos Finitos

Las ideas fundamentales del MEF


Discretizar el dominio en elementos conectados entre sí mediantenodos:
1
1

2
2

Elementos

3
3

4

Nodos



Resolver para cada elemento las ecuaciones diferenciales del fenómeno
 - La solución tiene forma de un sistema de ecuaciones lineales.



Combinar las soluciones de todos los elementos



Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante
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1. Discretizar en elementos conectados por nodos



El proceso se llama mallar, y el conjunto de elementos y nodos se llama malla
La malla es una aproximación de la forma original del modelo

Modelo de CAD

Malla con
elementos
tetraedricos

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El Método de los Elementos Finitos

1. Discretizar en elementos conectados por nodos

Existen muchos tipos de
elementos finitos, con
distintas aplicaciones,
aplicaciones
ventajas y desventajas.

Librería de elementos
del software de
simulación I-DEAS
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