aeronautic

Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad
Sujetos a Vibraci´n Libre No Amortiguada.
o
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
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ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica
ıa
a
e
o
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, M´xico
e
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1

Introducci´n
o

En estas notas se presentan losfundamentos te´ricos de los sistemas vibrao
torios de un grado de libertad sujetos a vibraci´n libre no amortiguada. El
o
objetivo de estas notas es su empleo como un auxiliar did´ctico en los cursos
a
de vibraciones mec´nicas.
a

2

Sistemas Vibratorios Discretos y Continuos,
Grados de Libertad de un Sistema Vibratorio.

En su forma mas general, un sistema vibratorio est´ constituido por eleamentos que tienen propiedades m´sicas o de inercia, el´sticas y de disia
a
paci´n de energ´
o
ıa. A´ n cuando las propiedades de disipaci´n de energ´
u
o
ıa
est´n siempre presentes en cualquier sistema vibratorio, desde un punto de
a
vista matem´tico, un sistema capaz de vibrar puede existir sin que el sisa
tema disipe energ´ estos sistemas se denominan como no amortiguados.
ıa;Tambi´n, en general, las propiedades m´sicas o de inercia, el´sticas y de disie
a
a
paci´n de energ´ est´n distribuidas de manera continua a lo largo del sistema
o
ıa a
1

vibratorio, de manera que todos los sistemas vibratorios son continuos, las
herramientas matem´ticas necesarias para abordar este tipo de sistemas son
a
las ecuaciones diferenciales parciales y, para aproximacionesnum´ricas, el
e
m´todo del elemento finito o alguna de sus variaciones. Afortunadamente, es
e
posible modelar, con ´xito, sistemas vibratorios en los que se asume que las
e
propiedades m´sicas o de inercia, el´sticas y de disipaci´n de energ´ est´n
a
a
o
ıa
a
distribuidas de manera discreta; es decir, en estos sistemas se supone que
algunos elementos del sistema unicamente tiene propiedadesm´sicas o de i´
a
nercia, otros elementos del sistema unicamente tienen propiedades el´sticas y
´
a
algunos otros mas unicamente disipan energ´ Debe ser evidente, que estos
´
ıa.
sistemas vibratorios, denominados discretos, constituyen una abstracci´n o
o
aproximaci´n de los sistemas vibratorios reales; sin embargo, por un lado,
o
las herramientas matem´ticas necesarias para abordarestos sistemas son las
a
ecuaciones diferenciales ordinarias —bastante menos demandantes que las
ecuaciones diferenciales parciales— y por otro lado, un buen modelo discreto
de un sistema vibratorio real proporciona resultados suficientemente cercanos
al comportamiento real del sistema que, en muchos casos, hace innecesario
la formulaci´n continua del mismo sistema.
o
Uno de los conceptosfundamentales en el estudio de cualquier sistema,
es el concepto de grados de libertad, de manera muy simple, el n´ mero
u
de grados de libertad de un sistema vibratorio es el n´ mero m´
u
ınimo y suficiente de variables que es necesario conocer para determinar el estado del
sistema. En el caso de sistema mec´nicos, conocer el estado del sistema es
a
sin´nimo de conocer la posici´n delsistema; es decir, la posici´n de todos y
o
o
o
cada uno de los elementos del sistema. Un sistema vibratorio continuo, como
una viga, tiene un n´mero infinito de grados de libertad, esto en virtud de
u
que la posici´n de una viga se determina por una funci´n continua y difero
o
enciable, al menos hasta la cuarta derivada, y esta funci´n es equivalente a
o
conocer la posici´n de un continuo depart´
o
ıculas de la viga. A diferencia de
los sistema continuos, un sistema vibratorio discreto tiene un n´ mero finito,
u
que en algunos casos, como la aproximaci´n mediante el m´todo del elemento
o
e
finito, puede ser muy elevado.
En estas notas, se tratar´ exclusivamente con sistemas discretos de un
a
unico grado de libertad, es decir, en los sistemas considerados, es necesario
´...