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Pontificia Universidad Catolica de Chile

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Facultad de Matematicas

MAT1610-1&2 C´lculo I - 1er Semestre 2011
a
Profesor: Godofredo Iommi Echeverria
Ayudantes: Rodrigo Henr´
ıquez Auba -Roberto Z´niga Valladares
u˜

Ayudant´ 3
ıa
L´
ımites de sucesiones.

Problema 1. Calcule:
n4
n3
− 2
n→∞ n3 − 1
n +n+1
√
√
√
n+1−3 n+2+2 n+3
(b) l´
ım
(a) l´
ım

n→∞

(c) l´ım

n2 + 2n + 3
n2 + 2n + 1

(d) l´
ım

1+

n→∞

n→∞

1
n+1

n

4n

1 − (1 − 1/n)4
n→∞ 1 − (1 − 1/n)3
√
(f) l´ n en + π n
ım

(e) l´
ım

n→∞

(g) l´
ım

n→∞

(h)l´
ım

n→∞

√
n

1p + 2p + ... + np

n−1
n+1

n

Soluci´n:
o
(a)
l´
ım

n→∞

n4
n3
− 2
n3 − 1 n + n + 1

n4 (n2 + n + 1) − n3 (n3 − 1)
n→∞
(n3 − 1)(n2 + n + 1)
n5 + n4 −n3
1/n5
= l´
ım
·
n→∞ (n3 − 1)(n2 + n + 1) 1/n5
=1
= l´
ım

(b) Escribimos
√

√
√
√
√
√
√
n + 1 − 3 n + 2 + 2 n + 3 = ( n + 1 − n + 2) + 2( n + 3 − n + 2)

Luego racionalizamoscada binomio
√

√
√
n+1−3 n+2+2 n+3= √

2
1
√
√
−√
n+3+ n+2
n+1+ n+2

y cada uno de los t´rminos del lado derecho tiende a 0. Por lo tanto
e
√
√
√
l´
ım
n+1−3 n+2+2 n+3 =0
n→∞1

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Pontificia Universidad Catolica de Chile

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Facultad de Matematicas

(c) Tenemos que:
n2 + 2n + 3
n2 + 2n + 1

n

n

2
= 1+
(n + 1)2





2

= 1+
(n + 1)2
(n+1)2 

n
(n + 1)2
0





→e2
2 0

→ (e ) = 1
(d)
1
1+
n+1

4n

n+1

1
1+
n+1

=

4

· 1+

1
n+1

−4

→ e4 · 1 = e4

→1

→e4

(e)
n−1 4
n
n−1 3
n1−
1 − (1 − 1/n)4
=
3
1 − (1 − 1/n)
1−

n4 −(n−1)4
n4
n3 −(n−1)3
n3

=

4n3 − 6n2 + 4n − 1
3n3 − 3n2 + n
4
→
3
=

(f)
√
n

en + π n = π

n

e
π

n

+1→π

→1(g) Es claro que: 1p ≤ 1p + 2p + ... + np ≤ np + ... + np = np+1 . Luego aplicando ra´ n-esima, es claro que
ız
√
√
√ p+1
n
1 ≤ n 1p + 2p + ... + np ≤ ( n n)
As´ es claro que al hacer n → ∞...