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Observaci´on: Notemos que la expresi´on G′
(x) = f(x), ∀x ∈ int(I) m´as la continuidad de
G en I (Probada en la proposici´on 4.5) nos indican que G(x) =
x Z
a
f es una primitiva de la
funci´onf en I. Es decir, el primer teorema fundamental del c´alculo nos garantiza que toda
70funci´on continua en un intervalo posee primitivas. Este resultado lo conoc´ıamos en el caso
de funcionessencillas como x
2
o sen x ya que
Z
x
2
=
x
3
3
+ C, y
Z
sen x = −cos x + C,
es decir eramos capaces de encontrar una primitiva por simple inspecci´on. Sin embargo en
el caso por ejemplo de ex
2
o
sen x
x
, donde no eramos capaces de calcular la primitiva, nos
hac´ıamos la pregunta de si tal primitiva exist´ıa o no. Este teorema nos dice que s´ı, es decir
la primitiva de funcionescontinuas siempre existe independientemente de si somos o no
capaces de calcularla por inspecci´on.
En el caso en que la primitiva de una funci´on continua se conozca a priori, este teoremapermite tambi´en calcular las integrales. Este resultado aparece como el siguiente corolario.
Corolario 4.2 (del Primer Teorema del C´alculo). Si la funci´on F , continua en I, es
una primitiva de f en I,entonces:
∀a, b ∈ I,
b Z
a
f = F (b) − F (a).
Demostraci´on. Dados a, b ∈ I. Sea G(x) =
x Z
a
f. En virtud del Primer Teorema Fundamental del C´alculo se sabe que G′ = f sobre I, luego ∃C ∈ Rtal que G(x) = F (x) + C.
Pero como G(a) = 0 entonces esta constante vale C = −F (a) y luego G(x) = F (x) − F (a)
por lo tanto G(b) =
b Z
a
f = F (b) − F (a). 
π ZEjemplo 4.4.
0
sen xdx = (−cos π) − (−cos0) = 2
1 ZEjemplo 4.5.
0
(x
2
+ x + 1)dx =

1
3
3
+
1
2
2
+ 1

−

0
3
3
+
0
2
2
+ 0

=
11
6
Notaci´on: En los ejemplos aparece la expresi´on F (b) − F(a). Para no escribir dos veces la
funci´on F (sobre todo cuando su expresi´on es larga) se acostumbra a anotar
F (x)

b
a
≡ F (b) − F (a).
As´ı el ejemplo 4.5 se escribe
1 Z
0
(x
2
+ x...