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Cap´tulo 1
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L´ gica Proposicional
o
La L´ gica se ocupa de los m´ todos del razonamiento. Uno de los objetivos fundamentales es sistemo
e
atizar y codificar principios de los razonamientos v´ lidos con el objeto de formar o construir argumentaa
ciones o deducciones que sean correstas. Un argumento o deducci´ n consta esencialmente de un conjunto
o
de sentencias (afirmaciones) que formanlo que se llama premisas o hip´ tesis de las cuales otra senteno
cia, llamada conclusi´ n, es deducida o inferida. Nosotros nos ocuparemos de analizar en cierto detalle
o
las deducciones. Por ejemplo, si queremos deducir alguna propiedad acerca de los n´ meros naturales en
u
la deducci´ n (o tambi´ n llamada demostraci´ n o prueba) de tal propiedad , emplearemos sentencias o
o
e
opropiedades que sabemos a priori que son verdaderas y posiblemente tambi´ n hip´ tesis adicionales que
e
o
no necesariamente son verdaderas. Supongamos que queremos deducir la siguiente propiedad elemental
acerca de los n´ meros naturales:
u


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, si

, entonces

 
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¦¤ ¡

Para todo

.

  
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que obviamente no es
En la formulaci´ n de estapropiedad interviene la sentencia
o
necesariamente cierta para todos los n´ meros naturales. Pero es evidente que la formulaci´ n anterior
u
o
no afirma que
es v´ lida, afirma que en caso de que estemos en presencia de un par de
a
cumpliendo la propiedad de que
entonces ser´ verdadero que
a
. En
naturales y
la demostraci´ n de la anterior propiedad utilizaremos la hip´ tesis ”
o
o
tambi´ npropiedades
e
conocidas anteriormente.
Para analizar la estructura de las deducciones necesitamos fijar un lenguaje en donde trabajar. Si por
ejemplo, queremos estudiar el idioma Espa˜ ol, necesitaremos conocer primero el alfabeto el cual nos
n
permitir´ construir palabras y posteriormente frases cada vez m´ s complejas. De igual forma nosotros
a
a
deberemos establecer un alfabeto queconstar´ de ciertos s´mbolos a partir de los cuales y por medio
a
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de ciertas reglas construiremos lo que llamaremos f´ rmulas del lenguaje. En Espa˜ ol toda palabra se
o
n
puede ver como una secuencia finita de s´mbolos. Nuestras f´ rmulas tambi´ n ser´ n secuencias finitas de
ı
o
e
a
s´mbolos de nuestro lenguaje.
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¥¨  
£

 1.1.

Lenguaje Proposicional

En el lenguaje ordinario nos encontramos constantemente con sentencias que han sido formadas
uniendo frases m´ s peque˜ as por medio de ciertas palabras, como las palabras no, y, o, y por si......
a
n
entonces (o implica)....., si y s´ lo si, etc. Estas palabras son llamadas conectivos proposicionales o
o
1

1.1. Lenguaje Proposicional

Cap´tulo 1.L´ gica Proposicional
ı
o

conectivos l´ gicos. Nuestra procupaci´ n es estudiar la estructura de sentencias en donde aparecen estos
o
o
conectivos.
Ahora vamos a definir el lenguaje de la L´ gica Proposicional Cl´ sica. Este lenguaje es un conjunto
o
a
de s´mbolos con los cuales formamos cadenas de elementos de . Las cadenas no se construyen de
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una manera arbitraria. Daremos reglasprecisas para la formaci´ n de dichas cadenas, las cuales ser´ n
o
a
llamadas f´ rmulas.
o

&

&

El lenguaje

&

Lenguaje.

del C´ lculo Proposicional Cl´ sico (CPC) consta de las siguientes partes:
a
a

1. Un conjunto finito o numerable de s´mbolos
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, llamados s´mbolos proposicionales o variables.
ı
Los elementos de
ser´ n denotados por , , , etc.
a

021
0 )'
(

0§'
(

, llamados conectivos proposicionales y cuya interpretaci´ n
o

A 555
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2. Un conjunto de s´mbolos
ı
es

se interpreta como negaci´ n
o
se interpreta como o
se interpreta como y
se interpreta como si...., entonces...

4
9

7
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3. Los s´mbolos auxiliares ( y ).
ı

Los s´mbolos auxiliares sirven para separar distintas componentes de las f´ rmulas. No...