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Determinación de los diagramas de fases para algunos sistemas dinámicos

Julio Pozo y Jonathan Makuc Departamento de Ciencias Básicas Facultad de Ciencias de la Ingeniería Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago e-mail: julio.pozo@udp.cl

Resumen En este trabajo se determinan los diagramas de fases que permiten realizar la descripción del comportamiento del movimiento en el espaciode fase de algunos sistemas oscilatorios y/o giratorios. Para el caso del movimiento de un péndulo plano, las magnitudes relevantes son el ángulo θ y su derivada temporal θ& , las cuales representan las variables y corresponden a las coordenadas de un espacio bidimensional llamado espacio de fase. Con respecto al movimiento del péndulo plano en el espacio de fase, se obtienen y analizan tressituaciones que se consideran relevantes: Movimiento oscilatorio para energías menores que la energía total de referencia, que en el espacio de fase quedan representadas por curvas cerradas como elipses. Movimiento circular rotatorio para energía mayores que la de referencia y Movimiento crítico separatriz cuando la energía del péndulo plano es igual a la de referencia. También se determinannuméricamente (mediante la utilización de maple), los diagramas de fases tanto para el movimiento de un péndulo plano amortiguado como para el movimiento de un péndulo plano amortiguado forzado. Con respecto al movimiento en el espacio de fase del péndulo amortiguado, los resultados numéricos muestran que la energía decrece monótonamente a lo largo de las trayectorias, obteniéndose que el atractor es unpunto. Sin embargo para el caso del péndulo amortiguado forzado las curvas en el espacio de fase se empiezan a abrir en espiral hasta alcanzar un ciclo límite que permite formar una órbita elíptica, obteniéndose que en estas condiciones el atractor es una elipse.

1. Introducción La forma más tradicional para describir el caso de un movimiento oscilatorio, es & representar tanto el desplazamientox como su velocidad x = dx / dt en función del tiempo, & es decir presentar los gráficos x(t ) y x(t ) respectivamente. Sin embargo existe otra representación del movimiento oscilatorio que es de gran utilidad para diversas situaciones, & esto consiste en representar x = f (x) en un espacio bidimensional. Esta representación (en & donde se representa x a lo largo de la abscisa y x a lo largo de laordenada) se conoce con el nombre de espacio de fase. De esta forma, la descripción del movimiento oscilatorio queda completamente determinado en función del tiempo, cuando se conocen dos & magnitudes: el desplazamiento x(t ) y su velocidad x(t ) , en donde se supone que las magnitudes anteriores correspondan a las coordenadas de un punto en un espacio bidimensional llamado espacio de fase.Las distintas trayectorias del espacio de fase representan los movimientos del oscilador para diferentes condiciones iniciales de manera tal que, una trayectoria dada representa toda la historia del oscilador para un conjunto determinado de condiciones iniciales.

2.1 Espacio de fase para un oscilador armónico lineal

Un oscilador armónico lineal puede estar representado por un sistema masaresorte tal como se muestra en la figura 1.

k
m

& x

x

Fig.1

& & La energía cinética del oscilador armónico lineal está dada por T ( x) = mx 2 / 2 y su energía 2 potencial por V ( x) = kx / 2 . Dado que la suma de estas dos energías representa la energía total E , se puede escribir

(1) Sustituyendo se tiene que:

& T ( x) + V ( x) = E

(2)

1 2 1 2 & mx + kx = E 2 2 1 2 kA ,siendo 2

donde la energía total (constante de movimiento) se puede escribir como E = A la amplitud de la oscilación. La ecuación (2) también se puede expresar en la forma (3) & x2 x2 + =1 2E / k 2E / m

Por otro lado, teniendo presente la ecuación de una elipse (4) x2 y2 + =1 a2 b2

Comparando estas dos últimas expresiones. El movimiento del oscilador armónico se puede representar en el...