Agronomo

La sustitucion z = tan(x/2)
Vimos distintos tipos y formulas para integrales que involucran funciones trigonometricas. Ahora, dado que
todas las trigonometricas se escriben enterminos de sin y cos, podemos tomar cualquier combinacion de
trigonometricas y rescribirla como una combinacion de senos y cosenos. En particular, consideremos una
expresionracional en terminos de ambas:
P (sin(x), cos(x))
Q(sin(x), cos(x))
donde P y Q son polinomios en dos variables. Si podemos resscribir ambas funciones en terminos de una
variable,genial. Podemos usar, para esto, la sustitucion z = tan(x/2), y reescribir cos(x) y sin(x) en terminos
de z.
cos(x)

=
=
=
=
=

x
2 cos2 ( ) − 1
2
2
−1
sec2 ( x )
22
−1
1 + tan2 ( x )
2
2
−1
1 + z2
1 − z2
1 + z2

y para sin(x)
sin(x)

=
=
=
=
=

x
x
2 sin( ) cos( )
2
2
sin( x )
x
2
2
cos2 ( )
cos( x )
2
2
x1
2 tan( ) 2 x
2 sec ( 2 )
2 tan( x )
2
1 + tan2 ( x )
2
2z
1 + z2

y dado que x = 2 tan−1 (z),
dx =

2dz
1 + z2

una integral de la forma
P (sin(x), cos(x))
dxQ(sin(x), cos(x))
se convierte en

2

2z
P ( 1+z2 , 1−z2 ) 2dz
1+z
2z
1−z 2 1 + z 2
Q( 1+z2 , 1+z2 )

y esta ultima puede intentar resolverse por fracciones parciales,sustitucion trigonometrica o una forma basica.

1

Un ejemplo
1 + sin(x)
dx
1 − cos(x)

=
=
=
=
=

1+
1−

2z
1+z 2
1−z 2
1+z 2

2dz
1 + z2

2(z 2 + 2z +1)(1 + z 2 )
dz
(2z 2 )(1 + z 2 )2
(z 2 + 2z + 1)
dz
(z 2 )(1 + z 2 )
Cz + D
B
A
dz
+ 2+
z
z
1 + z2
A
Cz
D
B
+
dz
+ 2+
z
z
1 + z2
1 + z2

y pues ahi ya eshacer cuentas. Ahora, la tarea. Usen esta idea para realizar las siguientes integrales:
1.

dt
sin(t) − cos(t)
2π/3

2.
π/2

cos(θ) dθ
sin(θ) cos(θ) + sin(θ)

2