ahksajs
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Publicado: 9 de noviembre de 2014
Los dos teoremas de Tales[editar]
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todoslos triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.Corolario[editar]Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce amodo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
\frac{A}{B} = \frac{D}{C} \,
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó elcorolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S,entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Segundo teorema[editar]
fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Teorema segundo
Sea Bun punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Tales de Mileto
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Demostración[editar]
fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B seráconstante y recto.
fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos
OA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC sonisósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2 \alpha + 2 \beta = \pi = 180^{\circ}
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
A \widehat BC = \alpha + \beta = \frac {\pi} 2 \; = 90^{\circ}
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios[editar]
(Corolario 1) En todo triángulo rectángulo la longitud de la medianacorrespondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se...
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todoslos triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.Corolario[editar]Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce amodo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
\frac{A}{B} = \frac{D}{C} \,
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó elcorolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S,entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Segundo teorema[editar]
fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Teorema segundo
Sea Bun punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Tales de Mileto
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Demostración[editar]
fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B seráconstante y recto.
fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos
OA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC sonisósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2 \alpha + 2 \beta = \pi = 180^{\circ}
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
A \widehat BC = \alpha + \beta = \frac {\pi} 2 \; = 90^{\circ}
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios[editar]
(Corolario 1) En todo triángulo rectángulo la longitud de la medianacorrespondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se...
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