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Series de Taylor-Maclaurin
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. La serie de Taylorproporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomarunas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir laaproximación. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potenciasnegativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general ymientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
o expresado de otra formaDonde n! es el factorial de n
F (n) es la enésimaderivada de f en el punto a Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma siempre se puede hacer el cambio de variable (con lo que en la función a desarrollar original)para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar, de manera que se desarrollaríacentrada en 0. Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para finesprácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?La ecuación para el término residual se...