ajedrez

SIGMA
LEONHARD EULER Y EL RECORRIDO DEL CABALLO
DE AJEDREZ
Santiago Fernández (*)
INTRODUCCIÓN
En febrero de 2003 un niño de 9 años causó una enorme sensación en un programa concurso
de apuestas, de gran audiencia, en la televisión alemana. El chico llamado Xaver Neuhäusler,
apostaba que era capaz de completar un recorrido del caballo por el tablero de ajedrez, completamente de memoria,empezando por cualquier casilla del tablero. A Xaver se le taparon
los ojos y la casilla de inicio se le fue comunicando cada vez. Sin mucho esfuerzo el muchacho fue dictando la secuencia de 64 casillas que servían para completar el recorrido perfecto
¿no es asombroso?

EULER Y EL RECORRIDO DEL CABALLO
Como es sabido el genio de L.Euler abarcó casi todos los campos posibles de las matemáticas,pero también dedicó su tiempo a resolver problemas y acertijos de las llamadas matemáticas
divertidas. En particular en una carta, escrita el 26 de abril de 1757, y dirigida a su amigo
C. Goldbach, le hace constar la solución del siguiente problema:
¿Puede la pieza del caballo de ajedrez moverse en el interior de un tablero de ajedrez vacío
y entrar en contacto con cada una de las 64casillas, una vez y sólo una vez?

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Abando.

Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa

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Santiago Fernández

He aquí lo que entre otras cosas escribe Euler en esa interesante carta:
“...El recuerdo sobre un problema que se me propuso en cierta ocasión, no hace mucho,
me sirvió de motivo para realizar algunas investigaciones finas, en las cuales unanálisis
ordinario, según me parece, no tiene ninguna utilidad. La cuestión radica en lo siguiente.
Es preciso recorrer con un caballo de ajedrez las 64 casillas del tablero, de tal forma que
por cada una de ellas pase una sola vez. Con este fin, todas las casillas, por las que consecutivamente pasa el caballo durante las jugadas, se cubren con sellos. Pero a esto se añade
una condición más, osea, el comienzo de las jugadas debe realizarse desde una casilla
determinada. Esta última condición según me parece, dificulta mucho la cuestión. No obstante, yo afirmo quo si el trayecto completo que recorre el caballo es regresivo, o sea, si el
caballo puede pasar de la última casilla otra vez a la primera, entonces, se liquida también
esta dificultad. Después de realizar algunasinvestigaciones sobre el tema, por fin, encontré
un procedimiento claro para el hallazgo de cualquier cantidad de soluciones semejantes (su
número, sin embargo, no es infinito) sin hacer pruebas. El caballo juega conforme el orden
indicado por números. Puesto que de la última casilla 64 puede pasar a la 1, entonces, el
trayecto completo que recorre es regresivo”.
Euler resolvió dicho problema en lamemoria Solution d’une question curieuse qui ne paroit
soumise a aucune analyse (1766) donde también ofreció soluciones sobre tableros rectangulares de distintas dimensiones (4 x 4, 5 x 5, 6 x 6, 10 x 10, 3 x 4, 3 x 7, 4 x 5, 4 x 6, 4 x 7,
5 x 6, 6 x 6) y sobre tableros en forma de cruz. Mostramos aquí algunas de sus soluciones.

El artículo completo de Euler, por cierto muy interesante y fácilde seguir, se puede encontrar
en el archivo de Euler (E309).

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SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.

Leonhard Euler y el recorrido del caballo de ajedrez

Este problema, parece ser, que ya era conocido por algunos matemáticos árabes pero no fue
divulgado en Europa hasta 1720, difundido por el matemático Brook Taylor (1685-1731). Sin
embargo, la primera solución publicada se acredita a Moivre(1667-1754). El acertijo se había
atacado de diversas maneras. Euler lo hizo de una manera muy personal e intuitiva, Años más
tarde T.P. Kirkan (1805-1895) y W.R. Hamilton fueron capaces de elaborar aún más las originales ideas de Euler y extenderlas notablemente. Actualmente este problema del camino del
caballo se considera típico en cualquier estudio de teoría de grafos y ha resultado de...