ajuste de curvas mmc

AJUSTE DE CURVAS

JCCP

AJUSTE DE CURVAS
1. AJUSTE DE CURVAS
1.1. INTRODUCCION
Los datos que se obtienen mediante mediciones fluctúan, esto se debe a errores
aleatorios del sistema de medición aplicado al comportamiento intrínsecamente
estocástico del sistema en observación. Cualquiera que sea la razón es frecuente que
surja la necesidad de ajustar una función a los datos de unamedicion.
Las siguientes son aplicaciones de ajuste de curvas: llenar puntos de datos faltantes;
interpolación (estimación de puntos de datos desconocidos que caen dentro de dos
puntos de datos conocidos); extrapolación (estimación de puntos de datos
desconocidos más allá de los datos conocidos); derivación e integración de datos
digitales.
La diferencia principal entre las funciones de ajuste decurvas es el tipo de ecuación que
se usa para describir la curva. El tipo de ajuste de curva que es mejor depende de los
datos de entrada. Si los datos son no lineales, hay varias opciones como exponencial,
cuadrático y polinomial.

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Si obtenemos datax y datay de una medicion:

⎛3⎞
⎜⎟
⎜5⎟
⎜7⎟
⎜9⎟
⎜⎟
⎜ 11 ⎟
⎜⎟
datax := 13
⎜⎟
⎜ 15 ⎟
⎜ 17 ⎟
⎜⎟
⎜ 19 ⎟
⎜21 ⎟
⎜⎟
⎝ 23 ⎠

⎛ 3160 ⎞
⎜
⎟
3210
⎜
⎟
⎜ 3220 ⎟
⎜ 3300 ⎟
⎜
⎟
⎜ 3370 ⎟
⎜
⎟
datay := 3255
⎜
⎟
⎜ 3400 ⎟
⎜ 3370 ⎟
⎜
⎟
⎜ 3310 ⎟
⎜ 3255 ⎟
⎜
⎟
⎝ 3150 ⎠
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i := 0 .. 10
g( x , i) := xi

g( y , i) := yi

xi := g( datax, i)

yi := g( datay, i)

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Asignamos datax y datay a xi y yi respectivamente
xi =

yi =

3

3.16·10 3

5

3.21·10 3

73.22·10 3

9

3.3·10 3

11

3.37·10 3

13

3.255·10 3

15

3.4·10 3

17

3.37·10 3

19

3.31·10 3

21

3.255·10 3

23

3.15·10 3

3600

3400

yi

3200

3000

2800

0

5

10

15
xi

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De los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma de un po
de segundo grado de la forma:
2

Y:= a1 + a2⋅X + a3⋅X
Para este caso:

2

Y(X) := 2991.34 + 52.5151X − 1.92⋅X
⋅
3600

3400
yi
Y ( X)

3200

3000

2800
0

5

10

15
xi , X
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Esta ecuaci ó n (1) puede usarse para representar el conjunto de valores obtenidos
experimentalmente para la cual debemos determinar los valores d
e a1, a2, a3 , etc.
Para determinar estos valoresutilizamos el siguiente procedimiento:
1. Establecer el criterio para determinar la ecuaci
ó n que represente a los valores
(obtenidos experimentalmente).
2. Escribir la ecuaci ó n que expresa el error o desviaci
ó n entre el valor observado y los
valores dados por la ecuaci
ó n.
3. Habiendo obtenido la ecuaci
ó n del error, minimizar dicho error.

EVALUACIÓN DEL ERROR

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Siconsideramos las parejas de datos como se m estra en la gr

á fica donde

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Si consideramos las parejas de datos, como se muestra en la gr
áfica donde:
ó
d = distancia = Yobservada - Y obtenida por la ecuaci n
Y observada = Valor obtenido experimentalmente.
ó
Y obtenida por la ecuaci n = valor de la funci evaluada en cualquier valor
ón
X

Observando la gr fica, pareceque esta distancia se puede usar para representar el error,
á
pero habrá distancias positivas y negativas, (como se puede observar la distancia 1 es
d
positiva y la distancia d2 es negativa) de modo que el error promedio para los puntos como
los mostrados será pequeño aunque los errores individuales sean grandes.
Esta dificultad podría ser resuelta usando el valor absoluto de las distancias,sin embargo al
derivar la funci n del valor absoluto se generan ciertos problemas.
ó
La solución podría ser definir el error como el cuadrado de la distancia, esto elimina la
dificultad del signo. Por esta raz el método se llama: Método de Mínimos Cuadrados.
ón
S = d12+d22+d32+...+dn2
en donde S es la suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor calculado y el valor
observado y...