Ajuste De Curvas E Interpolacion

Unidad 4 Ajuste de curvas e interpolacion
4.1 Interpolacion: Lineal y cuadratica
4.2 Polinomios de interpolacion: Diferencias divididas de Newton y de Lagrange
4.3 Regresion por minimos cuadrados: Lineal y Cuadratica
4.4 Aplicaciones
http://sites.google.com/site/aqhu2011metnum/metodos-numericos/unidad-iv/43-regresin-por-mnimos-cuadrados-lineal-y-cuadrtica
4.1 Interpolación: Lineal ycuadrática.
INTRODUCCIÓN...En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podrían usarse para estimar razonablemente, algunas prediciiones de este tipo pueden obtenerse usandouna función que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolación.INTERPOLACIÓN.El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podriamos decir que:"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en elque conocemos los valores en los extremos".El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.Consideremos una función de la cual soloconocemos una serie de puntos de la misma:(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos. Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremosel polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n:   y= anxn+............+a1x+aoY se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)Se lellama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres. La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación generalde Newton.Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de lavariable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal.. Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:obtenemos la fórmula de la interpolaciónlineal: Interpolación lineal de una variable independiente.Es igual que hacer integrales cerradas.En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la...