Ajuste De Curvas E Interpolaciones

AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLACIONES

Interpolación lineal y cuadrática

Calcular el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo.
Calcular el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo.
La interpolación lineales un método matemático para aproximar el valor de un punto. Utiliza un polinomio de interpolación de grado 1.
P(x) = ax + b .
El error en la interpolación lineal se debe a que se aproxima a una curva mediante una línea recta. Para corregir este error se debe hacer uso de un polinomio de segundo grado.
P(x) = ax² + bx + c

Polinomios e interpolación de diferencias divididas de Newton
Elpolinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma más popular además de las más útil.
La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura

Usando triángulos semejantes, se tiene:

La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica quese trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino

Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.

Regresión por mínimos cuadrados lineal y cuadrático
Laregresión cuadrática es el proceso por el cual encontramos los parámetros de una parábola que mejor se ajusten a una serie de datos que poseemos, ya sean mediciones hechas o de otro tipo. Bueno, pero porque habriamos de querer ajustar nuestros datos precisamente a una parábola y no a otra función.
Una función cuadrática o de segundo grado se puede representar de manera genérica como:
Entonces lo que nosinteresa encontrar son los valores de a,b y c que hacen que el valor calculado sea lo mas cercano posible al medido.

DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA

Las fórmulas de derivación numérica son importantes en el desarrollo de algoritmos para resolver problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.
La técnica de aproximar las derivadas pordiferencias tiene muchas aplicaciones, en particular a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.
Si recordamos la definición de derivada de una función f(x) en un punto x:

Tendremos que una primera aproximación al valor de f ‘(x) lo tendremos con la expresión:

De cara a analizar el error de la aproximación, supongamos que f(x) es derivable dosveces en un entorno del punto x y apliquemos la Fórmula de Taylor a f(x + h) en x:

De manera que la aproximación lleva asociado un error proporcional a h y a la derivada segunda de la función en un punto indeterminado. Denominando M2 al máximo que alcance f’’(x) en [x; x + h] tendremos:
Es posible, sin embargo, mejorar la precisión de la siguiente manera: Consideremos
los polinomios de Taylor delas funciones f(x+h) y f(x¡h), suponiendo que la función es al menos tres veces derivable:

Si restamos ambas expresiones y despejamos tendremos:

De manera que la aproximación (a veces denominada aproximación central) tendrá asociado un error proporcional a h2:

:
Siendo M3 el máximo de la derivada tercera en [x ¡ h; x + h].
De manera análoga se obtiene una aproximación para la derivadasegunda:
Es interesante comentar que con las fórmulas anteriores pueden aparecer graves errores de redondeo, sobre todo si los datos de la función no se conocen con demasiada precisión y además h es muy pequeña, debido a las sustracciones que es necesario realizar (y los errores de redondeo que suelen llevar aparejados).
Existen otros métodos de derivación numérica que no estudiaremos en esta...