ajuste de curvas

UNISANGIL - MÉTODOS NUMÉRICOS – Prof. Ing. Edgar Romero Rodríguez - Feb - 2007

1

AJUSTE DE CURVAS

Básicamente el ajuste de curvas se utiliza cuando se tiene una serie de datos calculados
y se desea conocer valores intermedios no conocidos, o también en aquellos casos en
que se desee una versión simplificada de una función que se ajuste a un número de
valores concretos, yposteriormente usar la función simplificada para derivar nuevos
valores.
“Ajustar una curva implica ajustar una función g(x) a un conjunto de datos (xi,yi),
i=1,2,...,L. g(x) puede ser un polinomio, una función lineal o combinación de funciones
conocidas”1
Hay básicamente dos métodos para lograr ajuste de curvas:
1. Si los datos no son muy exactos o tienen asociado un error (ruido) entonces la
mejormanera es establecer una sola curva que represente la tendencia general de
los datos observados. Se conoce como REGRESIÓN LINEAL, cuyo método más
sencillo es la REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS.
2. Si los datos que se tienen son precisos se trazan una o varias curvas que pasan por
cada uno de los puntos de datos. A esto se le llama INTERPOLACIÓN, la cual
puede ser lineal o curvilínea.
El ajustede curvas en ingeniería tiene como aplicación principal, a partir de una serie
de datos experimentales, realizar:
ANÁLISIS DE TENDENCIA: realizar predicciones de la variable dependiente ya sea
para buscar valores fuera del límite observado (EXTRAPOLACIÓN) o dentro del
rango de datos observado (INTERPOLACIÓN).
PRUEBA DE HIPÓTESIS: cuando se tiene un modelo matemático que se puede usar
paracomparar los datos que produce con los datos medidos experimentalmente. Si
desconocemos los coeficientes del modelo se calculan a partir de los datos y luego
se prueba que tan adecuado es al evaluar los resultados que produce.

1.1 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS
En este método se pretende trazar la recta que más se acerque al conjunto de datos
dado, a la cual se le llama “línea (recta) deregresión”, expresada matemáticamente
como:
(2.1)
Y = C1x + C2+ Error

1

Análisis numérico y Visualización gráfica con MathLab. Soichiro Nakamura. Pág. 284.
Pág. 1 de 20

UNISANGIL - MÉTODOS NUMÉRICOS – Prof. Ing. Edgar Romero Rodríguez - Feb - 2007

Los valores de C1, C2 y el Error, se pueden calcular de las siguientes maneras:

1.1.1

Usando las fórmulas matemáticas.

C1 =

n∑XiYi − ∑ Xi ∑ Yi
n∑ Xi − (∑ Xi )²
2

, C2 =

∑ Yi − C ∑ Xi
n

1

n

y Error = ∑ (Yi − C 2 − C1 Xi )²

(2.2)

El error se da en términos de la suma de los cuadrados de la diferencia entre el valor
muestral y el valor calculado con la recta de regresión.

Ejemplo: encontrar la línea de regresión que se ajusta mejor a los siguientes datos.
x
y

1.0
2.0

1.5
3.2

2.04.1

2.5
4.9

3.0
5.9

La siguiente tabla muestra los valores calculados necesarios para hallar los valores
de los coeficientes de la recta buscada:

n

Xi

Yi

Xi*Yi

Xi²

Error

1
2
3
4
5
TOTAL

1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
10,00

2,00
3,20
4,10
4,90
5,90
20,10

2,00
4,80
8,20
12,25
17,70
44,95

1,00
2,25
4,00
6,25
9,00
22,50

0,0144
0,01690,0064
0,0049
0,0004
0,043

Reemplazando en las ecuaciones (2.2) tenemos:
C1 =

5 * 44.95 − 10.00 * 20.10
20.10
10.0
= 1.90 , C 2 =
− 1.90
= 0.22 , Error = 0.043
5 * 22.50 − 10²
5
5

Con estos valores al reemplazarlos en la ecuación (2.1) tenemos: Y = 1.90X + 0.22.

1.1.2 Usando MatLab.

En MatLab, podemos calcular la recta de regresión
usando el comando polyfit, cuyasintaxis es: C = polyfit(x,y,1), donde x, y son
vectores que contienen los datos puntuales que se desean ajustar.
Una vez ejecutado el comando C contendrá los coeficientes C1 y C2 buscados, siendo
C1= C(1) y C2 = C(2). Las siguientes instrucciones tecleadas desde la línea de
comandos de Matlab efectúan el proceso:
x= [1 1.5 2 2.5 3];
Pág. 2 de 20

UNISANGIL - MÉTODOS NUMÉRICOS – Prof. Ing....