Ajuste De Curvas
Unidad II
Aplicaciones a Modelación Matemática
AJUSTE DE CURVAS
Regresión lineal
Linealización: exponencial, potencias y razones
Conceptos generales
• Problema general:
Se tiene unconjunto discreto de
valores (mediciones) de una
cantidad, se requiere conocer
un valor intermedio entre los
valores discretos.
1
y = f(x)
f4(x)
f3(x)
2
f1(x)
•
•
f2(x)
xOpciones
1. Obtener una curva que
represente la tendencia
general de los datos. Veremos
regresión por mínimos
cuadrados.
2. Una curva que pase por
cada uno de los puntos en
forma directa.Interpolación
(en cursos de Análisis
Numérico).
Estadística
Se tiene un conjunto de datos (n mediciones de una cantidad y
,en función de la variable x)
n
x
x1
x2
x3
...
xn
y
y1
y2y3
Media aritmética
n-1 grados de libertad
y=
Desviación estándar
sy =
yn
∑y
i =1
n
varianza
St
s=
n −1
St
n −1
2
y
n
donde
i
S t = ∑ ( yi − y )
i =1n-1 grados de libertad
2
2.1 Regresión
2.1 Regresión lineal
• Ajuste a una línea recta:
• Nuestro modelo considera que
el comportamiento del sistema
es lineal
y = a0 + a1 x + eIntersección
con eje y
pendiente
¿Cuál es la mejor recta?
Error o residuo:
diferencia entre el modelo
y las observaciones
Ajuste por mínimos cuadrados:
cuadrados:
Minimizar la suma Sr de loscuadrados
de los residuos entre la y medida y la y
calculada con el modelo lineal, para
encontrar a0 y a1
Suma de cuadrados de los residuos entre la y
medida y la y calculada con el modelo linealy
RESIDUO
Medición
ei = yi − a0 − a1 xi
yi
θ
a1= tan θ
yi,modelo=a0+a1xi
a0
xi
n
n
Sr = ∑ ei2 = ∑ ( yi ,medida − yi ,mod elo ) 2 = ∑ ( yi − a0 − a1 xi ) 2
i =1
i=1
n
n
n
0 = ∑ yi − ∑ a0 − ∑ a1 xi
i =1
i =1
i =1
Sx
Sx
Sx2
Sy
Sxy
Sistema de ecuaciones
na0 + S x a1 = S y
S x a0 + S x 2a1 = S xy
Los coeficientes son...
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