Ajuste de los datos tomados de Andreasson (1965) por medio de la familia de distribuciones de Hofmann

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Ajuste de los datos tomados de Andreasson (1965) por medio de
la familia de distribuciones de Hofmann
Los datos tomados de Andreasson (1965), tabla 2,1, se refieren a la tercera feria suecade seguro de autom´vil. Determine la distribuci´n de probabilidad de Hofmann que se
o
o
ajuste a los datos, presentando las respectivas aproximaciones de funciones de frecuencia
con la estimaci´nde los par´metros.
o
a
N´mero de reclamos
u
k
0
1
2
3
4
5
≥6
Total

Distribuci´n Observada
o
nk
25356
1521
282
58
16
4
1
27238

En primer lugar, se estimar´n los par´metrosa, µ y c. Para esto se calcula a continuaci´n
a
a
o
n, s 2 , m 3 y k
¯ n
6

nk k
n=
¯

k=0
6

=

2349
= 0,08624
27238

nk
k=0
6

nk (k − n)2
¯
s2 =
n

k=0

=

63360,4227
= 0,12337
27237

nk − 1
k=0
6

nk (k − n)3
¯
m3 =

k=0

=

6

6196,12311
= 0,22748
27238

nk
k=0

2

k=

¯
s2 − n
0,03713
n
=
= 0,43062
n
¯
0,08624Ahora, las estimaciones con la suposici´n de t = 1 son
o

ct = c =
ˆ
ˆ

a=
ˆ

1 m3 − s2
n
− k − 2 = 0,37258
n
¯
k

k
= 0,15579
ct
ˆ

µt = µ = n = 0,08624
ˆ
ˆ ¯
Al obtener lasestimaciones se pasar´ hallar las probabilidades de que ocurran n reclaa
mos, primero para n = 0
1

P0 (1) = exp[−θ(1)] = exp −

1

λ(τ )dτ = exp −
0

0

1−a 1

= exp −

µ(1 + cτ )
ˆˆ
(1 − a)ˆ
ˆc

= exp −
0

µ
ˆ
dτ
(1 + cτ )a
ˆ ˆ

µ
ˆ
[(1 + c)1−ˆ − 1]
ˆ a
(1 − a)ˆ
ˆc

= exp[−0,07152] = 0,93097
A continuaci´n para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, aplicaremos el m´todo derecurrencia
o
e
n

Pn+1 (1) =

a+k−1
µ
ˆ
(n + 1)(1 + c)a k=0
ˆˆ
k

c
ˆ
1+c
ˆ

k

Pn−k (1)

Para n = 0, realizando las respectivas simplificaciones, se tiene
P1 (1) =

µ
ˆ
P0(1) = (0,0598)(0,93097) = 0,05567
(1 + c)a
ˆˆ

3

Para n = 1
P2 (1) =

ac
ˆˆ
µ
ˆ
P1 (1) +
P0 (1)
a
ˆ
2(1 + c)
ˆ
1+c
ˆ

= (0,0299)(0,05567 + 0,29208) = 0,01039

Para n = 2...