Ajuste

M´
etodos Num´
ericos (SC–854)
Ajuste a curvas
c M. Valenzuela 2007–2008
(27 de marzo de 2008)

1.

Definici´
on del problema

En el problema de ajuste a curvas se desea que dada una tabla de valores (xi , fi ) encontrar una curva que se ajuste de la mejor manera a los datos. La curva est´
a definida
en forma param´etrica, y se deben encontrar los valores de sus par´ametros para hacer que
algunamedida de error se minimice.

2.

Ajuste a un polinomio mediante m´ınimos cuadrados
Suponga que se desea ajustar a un polinomio de la forma
Pn (x) = a1 xn + a2 xn−1 + · · · an x + an+1 =

n+1

ai xn−i+1

(1)

i=1

El problema de ajuste consiste en encontrar los coeficientes ai que hagan que este polinomio
se parezca lo m´as posible a los datos de acuerdo a alguna definci´
on de error.
Definimos elerror εj del polinomio en el punto xj como la diferencia entre el valor que
toma el polinomio y el valor fj , es decir,
εj ≡ fj − Pn (xj )

(2)

Ahora definimos el error cuadr´
atico total ξ como al suma de los errores al cuadrado para
todos los datos, esto es,
ξ ≡

N
j=1
N

=

ε2j

(3)
2

(fj − Pn (xj )) =

j=1
N

=
j=1

N

fj −

j=1

n+1
i=1

2

ai xn−i+1
j

fj − a1 xnj − a2 xn−1
− · · · − an−1x2j − an xj − an+1
j

(4)
2

(5)

donde N es el n´
umero de datos. Mediante el m´etodo de m´ınimos cuadrados se encuentran
los valores de los coeficientes ai que hacen que se minimice el valor de ξ.
Para obtener el valor de los coeficientes ai para producir m´ınimo error, derivamos el
error cuadr´
atico total ξ respecto a cada componente de a e igualamos a cero:
N

∂ξ
∂an+1

=

∂ξ
∂an

=

2 fj −j=1
N
j=1

n+1
i=1

2 fj −

n+1
i=1

ai xn−i+1
(−1) = 0
j

(6)

ai xn−i+1
(−xj ) = 0
j

(7)

Ajuste a curvas

M´etodos Num´ericos (SC–854)

f (x)

xi
0.4
2.5
4.3
5.0
6.0

fi
1.00
0.50
2.00
2.55
4.00

N =5
x
0.5301x + 0.0803
0.1981x2 − 0.7153x + 1.2095
−0.0198x3 + 0.3909x2 − 1.2081x + 1.4171
Figura 1: Ejemplo de ajuste a una recta, par´
abola, y c´
ubica.
..
.
∂ξ
∂a2
∂ξ
∂a1

N

2 fj −

=

n+1j=1

i=1

N

n+1

2 fj −

=
j=1

i=1

Multiplicando por −1/2 y despejando
N n+1
j=1 i=1
N n+1
j=1 i=1

ai xn−i+1
(−xn−1
)=0
j
j

(8)

ai xn−i+1
(−xnj ) = 0
j

(9)

fj se obtiene lo siguiente:

ai xn−i+1
=
j

ai xn−i+1
xj =
j

N

fj

(10)

xj fj

(11)

xn−1
fj
j

(12)

xnj fj

(13)

fj

(14)

j=1
N
j=1

..
.
N n+1
j=1 i=1

ai xn−i+1
xn−1
j
j

N n+1
j=1 i=1

N

=

ai xn−i+1
xnj =
j

j=1
N
j=1Invirtiendo el orden de las sumatorias obtenemos que
n+1
i=1

ai

N
j=1

xn−i+1
=
j

c M. Valenzuela, 2007–2008 (27 de marzo de 2008)

N
j=1

P´agina 2

Ajuste a curvas

M´etodos Num´ericos (SC–854)

n+1

N

ai

i=1

j=1

N

xn−i+1
xj
j

=

xj fj

(15)

xn−1
fj
j

(16)

xnj fj

(17)

j=1

..
.
n+1

N

ai

i=1

j=1

n+1

N

ai

i=1

N

xn−i+1
xn−1
j
j

j=1

=
j=1
N

xn−i+1
xnj =
j

j=1

El lado izquierdode la primera ecuaci´
on puede expandirse de la siguiente manera:
n+1

N

ai

i=1

j=1

N

xn−i+1
= a1
j

j=1

xnj + a2

N
j=1

xn−1
+ · · · + an
j

N

xj + an+1

j=1

N

1

(18)

j=1

Las dem´as ecuaciones se expanden de forma similar, y se obtiene lo siguiente:
a1

N
j=1

a1

N
j=1

a1

N
j=1

xnj + a2

xn+1
+ a2
j

xn+2
+ a2
j

N
j=1

N
j=1

N
j=1

xn−1
+ · · · + an
j

xnj + · · · + an

xn+1
+· · · + an
j

N
j=1
N
j=1

N

xj + an+1 N

N

=

j=1

fj

(19)

xj fj

(20)

x2j fj

(21)

xnj fj

(22)

j=1

x2j + an+1
x3j + an+1

N

xj

N

=

j=1
N
j=1

j=1

x2j =

N
j=1

..
.
a1

N
j=1

x2n
j + a2

N
j=1

x2n−1
+ · · · + an
j

N
j=1

xn+1
+ an+1
j

N
j=1

xnj =

N
j=1

Lo anterior es un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 inc´
ognitas que son los coeficientes ai .
Expresando este sistemade ecuaciones en forma matricial obtenemos lo siguiente:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

xnj
xn+1
j
..
.

x2n−1
j
x2n
j

xn−1
j
xnj
x2n−2
j
x2n−1
j

···
···
···
···

xj
x2j
xnj
xn+1
j

N
xj

⎤⎡

⎤

⎡

⎥
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎦

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎤⎡

⎤

⎡

⎥⎢
⎦⎣

⎥
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎦

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎢
n−1 ⎥
⎦⎣
xj

xnj

a1
a2
..
.
an
an+1

fj
xj fj
..
.

⎤

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
n−1
xj fj ⎦

(23)

xnj fj

que es lo mismo que...