Ajustes

Pruebas de bondad de ajuste

Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una de-
terminada distribuci´on, esta distribuci´on puede estar completamente especificada (hip´otesis simple) o
perteneciente a una clase param´etrica (hip´otesis compuesta).

· Test χ2 Est´an disen˜ados para variables aleatorias discretas con un n´umero finito de valores, siesto no ocurriese los valores de la variable se agrupan en un n´umero finito de clases.

1. Hip´otesis nula simple H0 :

X ≡ F0

Dada una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X que toma valores en las clases
C1, . . . , Ck ,sea Oi = no de individuos de la muestra en la clase Ci y sea pi = P (X ∈ Ci).
Con esta formulaci´on lo que se contrasta es

H0 :

pi = PF0 (X ∈ Ci) =p0i ∀i

y se puede hacer por dos procedimientos: mediante el estad´ıstico de la raz´on de verosimi-
litudes o mediante el estad´ıstico de Pearson.
Ambos procedimientos se basan en la comparaci´on de la frecuencia observada en cada clase
Oi con la frecuencia esperada bajo la hip´otesis nula Ei = np0i = no de individuos esperados
en la clase Ci, bajo H0; si esta fuese cierta no deber´ıanpresentarse grandes discrepancias.

El test de la raz´on de verosimilitudes se basa en la verosimilitud de los datos agrupados
→ k Oi
→ k
Oi
k
i=1
se obtiene el siguiente estad´ıstico

G = −2 ln Λ = 2

k

i=1

Oi ln

Oi
Ei

que como se observa se basa en la comparaci´on por cociente de las frecuencias observadas
y esperadas de cada clase.
En base a esteestad´ıstico se define la regi´on cr´ıtica RC = {G > c} y para determinar
c se utiliza la distribuci´on asint´otica de G = −2 ln Λ que es χ2k−1, los grados de libertad
corresponden al n´umero de pi que es necesario estimar.
La aplicaci´on de este procedimiento requiere muestras de taman˜o grande para poder utilizar
la aproximaci´on asint´otica, es reconocido el criterio de que Ei ≥ 5 en al menosun 80% de
las clases admiti´endose que en lo sumo un 20% de las clase se tenga 1.5 ≤ Ei ≤ 5.

El test de Pearson se basa en la comparaci´on por diferencia e las frecuencias observadas
y esperadas de cada clase a partir del estad´ıstico

D =

k

i=1

(Oi − Ei)2
Ei

En base a este estad´ıstico se define la regi´on cr´ıtica RC = {D > c} y para determinar c se
utiliza la distribuci´onasint´otica de D que es χ2k−1, al igual que en el caso anterior.es L(O1, . . . , Ok, −p ) = h
i=1 pi
que alcanza su m´aximo cuando pi = Oi/n y si la hip´otesis
nula fuese cierta la verosimilitud de los datos ser´ıa L(O1, . . . , Ok, −o ) = h
0 Oi de
p
i=1(pi )
p0i
donde el estad´ıstico de la raz´on de verosimilitudes es Λ(O1, . . . , Ok) =
,y
Oi/n

Puede comprobarse que los dosestad´ısticos utilizados son asint´oticamente equivalentes y
ambos utilizan el mismo criterio para la aproximaci´on asint´otica.

2. Hip´otesis nula compuesta H0 :

X ≡ Fθ, θ ∈ Θ ∈ Rq

En este caso para aplicar cualquiera de los dos procedimientos anteriores necesito la es-
timaci´on m´aximo veros´ımil del par´ametro con los datos agrupados θ para luego calcular
Ei = nPi(θ), se construyenentonces los estad´ısticos :

G = −2 ln Λ = 2

k

i=1

Oi ln

Oi
Ei

D =

k

i=1

(Oi − Ei)2
Ei

cuya distribuci´on asint´otica, bajo condiciones de regularidad y si es cierto la hip´otesis nula,
es χ2k−1−q .
Como la estimaci´on del par´ametro con los datos agrupados suele ser bastante complicado,
puede utilizarse la estimaci´on con los datos de la variable pero en este caso ladistribuci´on
de los estad´ısticos anteriores se encuentra entre la de una χ2k−1−q y una χ2k−1.
Para la aplicaci´on de estos test se requieren las mismas condiciones asint´oticas expuestas
anteriormente.

· Test de Kolmogorov -Smirnov
Se basa en el concepto de la funci´on de distribuci´on emp´ırica y sus propiedades como aproxima-
ci´on de la funci´on de distribuci´on te´orica. Dada una...