ajustes

Capítulo 7
Aproximación de funciones y ajuste de
datos experimentales
En este capítulo trataremos dos problemas íntimamente ligados. El primero es el problema
de la aproximación de funciones que lo podemos enunciar como:
Dada una función f (x) definida en [a, b] y una serie de funciones base ψr (x) definidas también en [a, b], encontrar los coeficientes ar de forma que la suma !nr=0 ar ψr (x) sealo más próxima posible a f (x) en el intervalo [a, b].
El concepto de proximidad lo definiremos más adelante. El problema de la aproximación es
esencial cuando queremos representar una función en serie de otras más sencillas, como potencias o funciones trigonométricas.
El segundo problema surge cuando medimos datos que satisfacen una ley que se comporta
como una función. Típicamente medimos unconjunto de N puntos (xi , yi ), donde la variable
independiente xi se supone exacta y todo el error de medida de cada punto se atribuye a la
variable dependiente yi , que viene afectada de un error experimental σi . Suponemos que la ley
que satisfacen los datos se puede describir mediante un modelo de la forma y = f (x) que depende
de una serie de parámetros ai . Nos limitaremos al caso particularen que la dependencia de los
parámetros es lineal, es decir f (x) = !nr=0 ar ψr (x) donde ψr (x) son funciones base convenientes
para describir nuestro modelo teórico de los datos. Podemos enunciar el segundo problema como:
Determinar los valores de los parámetros ai que hacen que la cantidad
(yi − !nr=0 ar ψr (xi ))2
σi2
i=1
N

χ 2 (a0 , a1 , . . . an ) = !
sea mínima.

Este es el problema delmodelado de datos experimentales. Ambos problemas, aproximación
de funciones y modelado de datos, están íntimamente ligados y comparten las mismas técnicas
de resolución.
115

116CAPÍTULO 7. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES Y AJUSTE DE DATOS EXPERIMENTALES

7.1.

Proximidad de funciones: Distancias y Normas

En primer lugar, hay que definir el concepto de proximidad de dos funciones en un intervalo.
Paraello hay que introducir una distancia entre las dos funciones. Las distancias se suelen definir
mediante normas. Si tenemos una norma definida para funciones f (x) , se define la distancia
entre dos funciones f (x) y g(x) como d( f (x), g(x)) = f (x) − g(x) . Hay diversas normas utilizadas frecuentemente. La más utilizada es la norma de mínimos cuadrados o L2 definida como
f (x) − g(x)

2

=

b
aen un intervalo y como
f (x) − g(x)

( f (x) − g(x))2 dx

n

2
2 = ! ( f (xi ) − g(xi ))
i=0

sobre un conjunto discreto de puntos. En general la norma L p se define como
f (x) − g(x)

p=

b
a

| f (x) − g(x)| p dx

sobre un intervalo y como
f (x) − g(x)

N

p
p = ! | f (xi ) − g(xi )|
i=1

sobre un conjunto discreto de puntos. En aproximación de funciones, aparte de la norma L2 , se
utilizanusualmente la norma L1 y la llamada norma L" , definida como
f (x) − g(x)

"

= m´ax | f (x) − g(x)|

sobre un intervalo o conjunto discreto de puntos. La aproximación de funciones que minimiza
la norma L" se conoce como aproximación minimax. Cuando deseamos una aproximación a
una función en un intervalo por otra más sencilla, la aproximación minimax es quizás la más
razonable, ya que limita el errormáximo cometido en un punto arbitrario del intervalo. Sin
embargo, cuando tenemos puntos experimentales afectados de un error estadístico, entonces la
aproximación de mínimos cuadrados, en la versión de mínimo χ 2 , es la única justificada desde
el punto de vista estadístico.

7.2.

Aproximación de mínimos cuadrados

7.2.1.

Normas a partir de productos escalares

Si definimos el producto escalarde dos funciones como
< f (x)|g(x) >=

b
a

f (x)g(x)dx

7.2. APROXIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS

117

sobre un intervalo y
N

< f (x)|g(x) >= ! f (xi )g(xi )
i=1

sobre un conjunto discreto de puntos. La norma L2 se puede escribir en función del producto
escalar como
f (x) − g(x) 2 =< f (x) − g(x)| f (x) − g(x) >
tanto sobre un intervalo como un conjunto discreto de puntos.

7.2.2. Las...