AL_ProblemasCorteIII_2015II 1

Politécnico Grancolombiano

Preparación Parcial Final

Álgebra Lineal, 2015-I

Instrucciones: Los siguientes problemas tienen como objetivo resumir los aspectos centrales del curso de Álgebra Lineal y
también servir de preparación para el parcial final del curso que incluye todos los temas tratados en clase. Aunque no se incluyen
las soluciones de los problemas, se recomienda la asistencia alespacio de asesorías donde con gusto se podrán discutir los detalles
necesarios para solucionar los ejercicios.
Ejercicio 01. Resuelva el sistema lineal dado por medio del método de eliminación.
2x − 3y + 4z = −12
x − 2y + z = −5
3x + y + 2z = 1
Ejercicio 02. ¿Para qué valores de λ el sistema homogéneo
(λ − 1)x + 2y = 0
2x + (λ − 1)y = 0
tiene una solución no trivial?
Ejercicio 03. Si A y B sonmatrices de n × n, con |A| = 2 y |B| = −3, calcule A−1 B T .
Ejercicio 04. Si
a+b c+d
4
=
c−d a−b
10

6
,
2

determine a, b, c y d.
Ejercicio 05. Si |A| = −4, determine (a) A2 , (b) A4 y (c) A−1 .
Ejercicio 06. Sea A =

1
2

−1
. Determine (a) A2 − 2A y (b) 3A3 − 2A2 + 5A − 4I.
3

Ejercicio 07. Determine un escalar r tal que Ax = rx, donde
A=

2
1

1
2

y x=

1
.
1

Ejercicio 08. Dada una matrizcuadrada A, la traza, denotada tr(A), se define como la suma de los elementos de su diagonal
7 −2
1 −2
principal. Calcular tr(AB − BA), donde A =
yB=
.
1 1
6 1
Ejercicio 09. Dados los planos x + y − z = 5, −x + 2y − z = 3, encontrar la ecuación de la recta de intersección entre ellos.
Ejercicio 10. Encontrar los valores de α que hacen que:

1
0
1

0
α
1

3
−1


1 2
0 0
0 1

5x2 − 5x − 6
A
B
C
= +
+.
x(x − 3)(x + 1)
x
x−3 x+1

Ejercicio 11. Encontrar A, B y C de forma tal que
Ejercicio 12. Si A−1 =

2 
1
2
−1 = −1
2
1

4
, determine A.
−1

Ejercicio 13. Dado el subespacio Π = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0} de R3 , encontrar una base para el subespacio y su
dimensión.
Ejercicio 14. Sea L : M2×2 → M2×2 definida como
L

a
c

b
d

a−1
2c

=

b+1
.
3d

¿Es L una transformación lineal?Ejercicio 15. Dadas las matrices A = [aij ]3×4 , B = [bij ]3×4 y C = [cij ]4×4 , determine cuáles de las siguientes operaciones es
posible efectuar y por qué. Cuando se pueda, indique el tamaño de la matriz resultante.
1

1. 3C(A − B)T
Ejercicio 16. Si A =

2. −BAT − 2C
−2
2

3
−1
,B=
−3
2

3. 4I4 + C 2 − AT B

3
−4
yC=
0
0

4. B T (A + B)

−3
, demuestre que AB = AC.
−4

a1 a2 a3
Ejercicio 17. Si|A| = b1 b2 b3 = 3, calcule los determinantes de las siguientes matrices:
c1 c2 c3





a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
a1 3a2 a3
a1
 C =  b1 3b2 b3  D =  c1
b1
b2
b3
B=
c1
c2
c3
c1 3c2 c3
b1

a2
c2
b2


a3
c3  .
b3

Ejercicio 18. Sea L : M2×2 → R definida como
L

a
c

b
d

= a + d.

¿Es L una transformación lineal?
Ejercicio 19. Sea L : R4 → R3 una transformación linealdefinida como
L(x, y, z, w) = (x + y, y − z, z − w).
Encontrar bases para el núcleo y la imagen de L.
Ejercicio 20. Dados los vectores u y v, calcular el ángulo entre ellos, donde u = (1, 5) y v = (−1, 7).
Ejercicio 21. Determine un vector unitario en dirección x para (a) x = (3, 4), (b) x = (−2, −3) y (c) x = (5, 0).
Ejercicio 22. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P , Q y R,donde P = (−2, −1, 1), Q = (2, −1, 1) y
R = (1, 3, −1).
Ejercicio 23. Encontrar los valores de α de forma tal que

1
1
1

la siguiente matriz sea invertible:

1
4
0
0 
2
2 α −1


1
Ejercicio 24. Determine todos los valores de a para los que la inversa de A = 1
1


0
0 existe.
a

3
−1
. Determine (a) A−1 y (b) AT
. ¿Cómo se relacionan A−1 y AT
7


−2 4 −3
Ejercicio 26. Dada la matriz X =−3 −2 5 , calcular su adjunta adj(X).
2 −3 1
Ejercicio 25. Suponga que A =

1
2

1
0
2

−1

?

Ejercicio 27. Sea A una matriz de n × n tal que det(A) = 0 y sea B una matriz de n × n equivalente por renglones a la matriz
A, es decir: la matriz B se obtiene a partir de A mediante la aplicación de un número finito de operaciones elementales. Calcular
det(B).
−−→
Ejercicio 28. Dados los puntos P =...