alacasi


INTRODUCCIÓN

En el mundo de las matemáticas podemos encontrar varios métodos de demostración o prueba, que pueden entenderse como un argumento deductivo para una afirmación matemática. En esa argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, como los llamados teoremas. Se tiene que en principio, una prueba se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas,conocidas como axiomas. Las pruebas son ejemplos de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos y aquí se presenta una división; una prueba debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se creeverdadera se conoce como conjetura. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso. Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, si existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:
-Demostración porcontraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles).
-Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y, como caso particular, descenso infinito
-Inducción matemática (que es el que nos ocupa).
-Inducción fuerte
La prueba de inducción matemática no es una forma de razonamiento inductivo, y resulta muy útil en problemas en los que se trata de probar quetodos los números naturales cumplen una cierta propiedad, de la forma que se explicará a continuación.
La Inducción Matemática:
La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores enteros. En una prueba por inducción matemática, se prueba un único caso base y también unaregla de inducción, la cual establece que un cierto caso implica el siguiente. Aplicando la regla de inducción repetidamente, empezando del caso base independientemente probado, prueba muchos, a veces infinitos en número, otros casos. Como el caso base es verdadero, el infinito de los otros casos debe también serlo, incluso si todos ellos no pueden ser probados directamente dada su infinitud. Unsubconjunto de inducción es infinitamente descendiente. El descenso infinito puede ser usado para probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.
Una prueba inductiva para secuencias aritméticas fue introducida en el Al-Fakhri (1000 d. C.) por Al-Karaji, quien la usó para probar el teorema del binomio y propiedades del triángulo de Pascal. Alhazen también desarrolló el método de prueba porcontradicción, como el primer intento de probar el postulado euclidiano de las paralelas.
La primera formulación explícita sobre el principio de inducción fue establecida por el físico y matemático Blaise Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).
En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor: El número entero tiene lapropiedad .
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero tenga la propiedad implica que también la tiene.
Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad.
Con más rigor, el método de inducción matemática es el que realiza la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un número natural. Se basa en un axioma denominado principio de lainducción matemática.

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos a la proposición, donde es el rango.
-Se demuestra que , el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
-Se demuestra que si se supone como cierta y como hipótesis inductiva, entonces lo es también, y esto sin...