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CAPÍTULO 9

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

9.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (Área 2)

Al derivar una función cualquiera y = f ( x ) se genera otra función y' = g ( x ) , como
por ejemplo en elcaso de que y = x2, al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se llama la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presente
curso ha estado encaminado aobtener la primera derivada.
Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función llamada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a derivar, se obtiene latercera derivada, y así sucesivamente. Es decir, la segunda derivada resulta de derivar la primera derivada,
que en simbología matemática puede escribirse como

d ⎛ dy ⎞
⎜
⎟
dx ⎝ dx ⎠
Paraabreviar la simbología anterior, la segunda derivada se escribe como

137

Derivadas de orden superior

d ⎛ dy ⎞ d 2 y
⎜
⎟=
dx ⎝ dx ⎠ dx 2
La segunda derivada es la derivada de la derivada, nola derivada por la derivada. Son

dy
= 3 x 2 . En la sidx

cosas diferentes. Por ejemplo, si y = x 3 , entonces la primera derivada es

guiente tabla se muestra la diferencia entre lo queresulta de la derivada de la derivada y de la
derivada por la derivada:

d
3x 2 = 6 x
dx

Derivada de la derivada:

( 3x )( 3x ) = 9 x
2

Derivada por derivada:

2

4

Todo lo antes dichoes aplicable para la tercera derivada, la cuarta derivada, etc.

Ejemplo 1: Obtener la segunda derivada de la función y = 5 x 2 − 7 x + 13 .

Solución:

La primera derivada es

dy
= 10 x − 7dx

La segunda derivada se obtiene derivando la primera derivada, es decir

d ⎛ dy ⎞ d 2 y
d
=
(10 x − 7 )
⎜
⎟=
2
dx ⎝ dx ⎠ dx
dx

138

Derivadas de orden superior

d2y
= 10
dx2

Ejemplo 2: Calcular la tercera derivada de la función y = sen 6 x .

dy
= 6 cos 6 x
dx

(Primera derivada)

d2y
= − 36 sen 6 x
dx 2

Solución:

(Segunda derivada)

d3y
= − 216...