alallalla

Cap´
ıtulo 3
Sucesiones, inducci´n y
o
sumatorias
3.1.

Sucesiones

Definici´n 1
o
Una sucesi´n es una funci´n definida de N → R que se acostumbra a denotar
o
o
por an en lugar de f (n), costumbre que tambi´n adoptaremos en este texto,
e
as´
ı,
an ∈ R,
∀n∈N
an : se llama t´rmino n–´simo o t´rmino de lugar n.
e
e
e
a1 : es el primer t´rmino de la sucesi´n.
e
o
ak : es el k–´simo t´rmino de la sucesi´n.
e
e
o
Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los t´picos de las matem´ticas,
o
a
de ah´ su importancia. Eventualmente, n ∈ N0 , N0 = N ∪ {0}.
ı
Ejemplo 1
Vamos a dar algunas sucesiones definidas por su t´rmino n–´simo, o bien, en
e
e
74

Luis Zegarra A.

Sucesiones, inducci´n y sumatorias
o

75

forma recursiva.
1. an =

2n−1n2 +1

2. an = 2n − 1
3. an = (−1)n
4. an = cos(nπ )
5. an = 1 + 2 + 3 + . . . + n
6. an =

1
n

7. a1 = 1, a2 = 2, . . . , an+2 = an+1 + an
√
√
√
8. a1 = 2, a2 = 2 + 2, . . . , an+1 = 2 + an
Dada la sucesi´n a1 , a2 , . . . , an , su k –´simo t´rmino es ak , el siguiente t´rmio
e
e
e
no es ak+1 tambi´n llamado sucesor, el anterior al k –´simo t´rmino es ak−1
e
e
e
tambi´nllamado antecesor.
e
Ejemplo 2
Dada la sucesi´n an =
o
anterior t´rmino.
e

2n−1
,
3n+1

determine el k –´simo t´rmino, su siguiente y
e
e

De inmediato se tiene que:
ak =

2k−1
3k +1

ak =

2k−1−1
3(k −1)+1

=

2k−2
3k −2

es su anterior t´rmino.
e

ak =

2k+1−1
3(k +1)+1

=

2k
3k +4

es su siguiente t´rmino.
e

es el k –´simo t´rmino.
e
e

Elgr´fico de una sucesi´n, aunque no es relevante, es un conjunto discreto
a
o
de puntos que siempre se encuentran en el primer o en el cuarto cuadrante
de los ejes cartesianos, es decir:

Luis Zegarra A.

Sucesiones, inducci´n y sumatorias
o

76

DIBUJO
Observaci´n.
o
Los conceptos de sucesiones crecientes, no crecientes, acotadas, convergentes,
etc., no se abordar´n en este texto.Para ellos consultar en el texto de C´lculo
a
a
Integral y Diferencial en una Variable.

3.2.

Ejercicios resueltos

1
1. Dada la sucesi´n: 1, 1 , 3 , . . .
o
2

a ) Determine su t´rmino n–´simo.
e
e
b ) Pruebe que ak − ak+1 =

1
.
k (k +1)

c ) Calcule a1 − an+1 .
Soluci´n.
o
a ) De inmediato an =
b ) ak − ak+1 =
c ) a1 − an+1 =

1
k
1
1

−
−

1
n

1
k+1

=

k +1−k
k (k +1)

1
n+1

=

n
n+1

2. Dada la sucesi´n 1, 1 + 1 , 1 +
o
2

1
2

=

1
k (k +1)

+ 1 ...
3

a ) Determine el t´rmino de lugar n.
e
b ) Determine el siguiente t´rmino al n–´simo.
e
e
c ) Demuestre que an+1 > an , ∀ n ∈ N.
Soluci´n.
o
a ) De inmediato se tiene que:
1
1
an = 1 + 2 + 1 + . . . + n
3
1
b ) an+1 = 1 + 2 + 1 + . . . +
3

1n

+

1
n+1

Luis Zegarra A.

Sucesiones, inducci´n y sumatorias
o

1
1
1
1
1
c ) an+1 − an = 1+ 2 + 3 + . . . + n + n+1 − 1 + 2 + 1 + . . . +
3
pero como n ≥ 1 ⇒ an+1 − an > 0 ⇒ an+1 > an .

1
n

=

77
1
,
n+1

3. Dada la sucesi´n: 1 , 1 , 1 , . . .
o 135
a ) Determine el t´rmino n–´simo.
e
e
b ) Determine el anterior y siguiente t´rmino al n–´simo.
e
e
c) Calcule a2k − a2k+1 .
Soluci´n.
o
a ) an =

1
.
2n−1

b ) an−1 =

1
2n−3

1
2n+1

y an+1 =

c ) a2k − a2k+1 =

1
2(2k )−1

1
2(2k +1)−1

−

=

2
16k 2 −1

4. Desarrolle la siguiente sucesi´n definida recursivamente y de aqu´ deo
ı
duzca el n–´simo t´rmino: a1 = 2, . . . , an+1 = 2an + 1.
e
e
Soluci´n.
o
a1 = 2
a2 = 2a1 + 1 = 2 · 2 + 1 = 22 + 1
a3 = 2a2+ 1 = 2(22 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1
a4 = 2a3 + 1 = 2(23 + 2 + 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1
....................................... ............
an = 2an−1 + 1 = 2n + 2n−2 + 2n−3 + . . . + 22 + 2 + 1
M´s adelante, en el cap´
a
ıtulo de progresiones, estaremos en condiciones
para efectuar esta suma, cuyo resultado es an = 3 · 2n−1 − 1.
5. Si a1 = 1 . . . an+1 = an +

1
n+1

demuestre que:...