Alaminos Calculo

Cálculo

30 marzo 2012

Í

Índice
Índice i 1 Números reales 3 1.1 El conjuntos de los números reales 3 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 6 1.3 Valor absoluto 7 1.4 El principio de inducción 8 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 11 1.6 Ejercicios 12 2 Números complejos 17 2.1 Introducción 17 2.2 Forma binómica de un número complejo 20 2.3 Representación gráfica. Conjugado ymódulo de un número complejo 21 2.4 Forma polar y argumento de un número complejo 22 2.5 Funciones elementales 25 3 Sucesiones de números reales 31 3.1 Definición y propiedades. 31 3.2 Sucesiones parciales 33 3.3 Monotonía 34 3.4 Sucesiones divergentes 36 3.5 Criterios de convergencia 37 3.6 Ejercicios 40 4 Límites y continuidad 53 4.1 Límite funcional 53 4.2 Límites infinitos y en el infinito 54 4.3Cálculo de límites 57 4.4 Continuidad 58 4.5 Teorema del valor intermedio 61 4.6 Monotonía 63 4.7 Ejercicios 64 5 Derivabilidad 75 5.1 Definición. Recta tangente. 75 5.2 Reglas de derivación 77 5.3 Teorema del valor medio 78 5.4 Reglas de L’Hôpital 80 5.5 Derivadas de orden superior 81 5.6 Polinomio de Taylor 83 5.7 Concavidad y convexidad 87 5.8 Algunas aplicaciones de la derivada 88 5.9 Ejercicios 916 Integración 125 6.1 Funciones integrables 125 6.2 Teorema fundamental del Cálculo 131 6.3 Cálculo de áreas de regiones no acotadas. Integrales impropias 134 6.4 Cálculo de primitivas 137 6.5 Aplicaciones de la integral 147 6.6 Ejercicios 149 7 Series numéricas 181 7.1 Definición y propiedades 181 7.2 Convergencia absoluta e incondicional 185 7.3 Criterios de convergencia para series de términosno negativos 186 7.4 Otros criterios 189 7.5 Suma de series 190 7.6 Ejercicios 193 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias 207 8.1 Introducción 207 8.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 210 8.3 Métodos de resolución de edos de primer orden 212 8.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior 223 8.5 Ecuaciones lineales de orden superior 224 8.6 Ecuaciones diferenciales lineales concoeficientes constantes 226 8.7 Ejercicios 233

–i–

Í

9 Límites y continuidad de funciones de varias variables 253 9.1 El espacio euclídeo Rn 253 9.2 Funciones de varias variables 257 9.3 Límite funcional 258 9.4 Continuidad 260 9.5 Extremos absolutos 261 9.6 Ejercicios 262 10 Diferenciabilidad 269 10.1 Derivadas parciales 269 10.2 Función diferenciable 270 10.3 Reglas de derivación 273 10.4Teorema de la función inversa y Teorema de la función implícita 274 10.5 Polinomio de Taylor 278 10.6 Extremos relativos 280 10.7 Extremos condicionados 284 10.8 Extremos absolutos 287 10.9 Ejercicios 288 11 Integrales múltiples 331 11.1 Integrales dobles 331 11.2 Integración en dominios acotados 333 11.3 Integrales en dimensiones superiores 336 11.4 Cambio de variable 336 11.5 Aplicaciones 341 11.6Ejercicios 341 A Funciones 355 A.1 Definiciones 355 A.2 Funciones elementales 362

B Geometría 375 B.1 Parábolas, elipses e hipérbolas 375 B.2 Superficies cuadráticas 376 C Algunas tablas 381 C.1 Derivadas 381 C.2 Desarrollo de Taylor 382 C.3 Primitivas 382 D Progresiones aritméticas y geométricas 385 D.1 Progresiones aritméticas 385 D.2 Progresiones geométricas 386 E Algunos ejemplos y contraejemplos387 Glosario 389

– ii –

N

E

Números reales 1
1.1 El conjuntos de los números reales 3 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 6 1.3 Valor absoluto 7 1.4 El principio de inducción 8 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 11 1.6 Ejercicios 12

Existen diferentes formas de formalizar el conjunto de los números reales aunque se pueden agrupar en dos variantes: constructivos yaxiomáticos. Los primeros son demasiado laboriosos para un curso de Cálculo y, por este motivo, hemos preferido dejarlos de lado. En su lugar, hemos asumido que el conjunto de los números reales es conocido por el lector y elegimos la definición axiomática de este conjunto.

1.1 El conjuntos de los números reales
Vamos a definir el conjunto de los números reales, R, en términos de qué sabemos hacer con...