Albebra

Algebra

La matriz es una estructura algebraica que se utiliza para ordenar pares ordenados en filas y columnas.
Las matrices se nombran con letras mayúsculas. Ej: matriz A
Matrices específicas: N: nula/ I: identidad
Los elementos de una matriz se nombran con letras minúsculas.
Ej: aij en donde i = fila y j = columna
La matriz cuadra
El orden de una matriz está dado por la cantidad defila y columna que posea:

Amxn


Las matrices pueden calificarse en:
No cuadradas: de orden n . m
Cuadradas: de orden n . n

En gral se toman los números R por lo tanto las matrices siempre van a pertenecer al conjunto de los reales.
Matriz nula N: es aquella matriz que puede o no ser cuadrada y que tiene todos los elementos iguales a 0

N2x3





Clasificación de matrices
Las matrices nocuadradas no tienen calificación.
Las matrices cuadradas se pueden clasificar en:
Matriz Diagonal: aquella que está conformada por los elementos en donde i = j y todos los elementos por fuera son 0

A3x3


Matriz escalar (número perteneciente a los reales): Es una matriz cuadrada en donde todos los elementos de la diagonal tienen el mismo valor, y los demás elementos son iguales a cero.

A2x2


Matrizunidad o identidad: es una matriz cuadrada, escalar, en los que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1

I3x3





Matriz de probabilidad: es una matriz cuadrada cuya característica principal es que no tiene elementos negativos y la ∑ de los elementos de una fila es igual a 0

P2x2

P3x3


Matriz triangular superior: los elementos situados por debajo de la diagonal principalson ceros.

A3x3


Matriz triangular superior: los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

A3x3


Matriz Opuesta: La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Puede o no ser cuadrada
A = -A
Matriz inversa: solo aceptan matriz inversa aquellas matrices no singulares, esto significa que sus determinantes tienen que ser distinto de 0.Pueden o no ser cuadradas
A = A-1

Operaciones dentro de la matriz
Suma de matrices
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n
A2X2 + B2X2 = C2X2
a11
a12
+
b11
b12
=
c11= a11+ b11
c12= a12+ b12
a21
a22

b21
b22

c21= a21+ b21
c22= a22+ b22

Propiedades
Ley de cierre: la matriz resultante es de igual orden que las matrices sumando
Ley asociativa: A + B+C = A + (B+C)Ley conmutativa: A+B= B+A
Existencia del elemento neutro: N+A = A+N = A
Elemento opuesto: A+ (-A) = N
PARA LA RESTA APLICAN LAS MISMAS PROPIEDADES
Transposición de matrices
En la transposición de matrices se cambian las filas por las columnas

a11
a12
a13

a11
a21
A2x3
a21
a22
a23
A t 2x3
a12
a22





a13
a23
Propiedades
Transpuesta de transpuesta: At t = A
A+B t = At + Bt
A. B t= Bt. At : en este caso se permutan
Escalar: α.A t = α.At
An t = At n
Producto de matriz por escalar

A2x2
a11
a12
. α
=
a11. α
a12. α

a21
a22


a21. α
a22. α

Propiedades:
0. A = N
N. α = N
α +β . A = α.A + β.A
A+B . α = α.A + α.B
Producto de Matrices
Dadas dos matrices A € Rn x m y B € R p x q, solo se va a poder efectuar el producto si m=p, esto significaque el número de columnas de la primera matriz tiene que ser igual que el números de filas de la segunda matriz, la matriz resultante será del orden n x q esto quiere decir que estará compuesta por el número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B. Cada elemento de la matriz resultante se obtiene sumando los productos término a término de los elementos de la fila i de lamatriz A por los elementos de la columna j de la matriz B
Cij=∑nk=1 aij + bij
An x m . BP X q = Cn x q
A2x2
a11
a12
.B2x3
b11
b12
b13
=C2x3

a21
a22

b21
b22
b23



b11
b12
b13

b21
b22
b23
a11
a12
c11= a11. b11 + a12. b21
c12= a11. b12 + a12. b22
c13= a11. b13 + a12. b23
a21
a22
c21= a21. b11 + a22. b21
c22= a21. b12 + a22. b22
c13= a21. b13 + a22. b23

c2x3
c11
c12
c13

c21
c22
c23




Para...