aleatorias

MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Variables Aleatorias

SOCIALES

Variables
Aleatorias

MaTEX

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

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ıculo

Tabla N(0,1)

c 2004 gonzaleof@unican.es
8 de Junio de 2004

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Versi´n 1
o

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. VariableAleatoria Discreta
1.1. Funci´n de Probabilidad
o
1.2. Funci´n de Distribuci´n
o
o
1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria
1.4. Varianza y desviaci´n t´
o ıpica de una variable aleatoria
1.5. Ejercicios
2. La Distribuci´n Binomial
o
• Experiencias binomiales • N´meros combinatorios
u
2.1. Distribuci´n Binomial
o
2.2. Ejercicios
3. Variable Aleatoria Continua
3.1. Funci´n deDistribuci´n
o
o
4. La Distribuci´n Normal
o
4.1. La normal N (0; 1)
• Manejo de la tabla • Tipificar una variable normal
4.2. Ejercicios
5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o
o
5.1. Ejercicios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

SOCIALES

MaTEX
Variables
Aleatorias

Tabla de Contenido

Tabla N(0,1)

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Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o

3

r=A+lu

1. Variable Aleatoria Discreta

A

Ω
ωi

−→
−→

R
xi

Ejemplo 1.1. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X,
n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz, como
u
el espacio muestral es Ω = {CC, CX, XC, XX} entonces se tiene
X :

Ω
CC
CX
XC
XX

−→
→
→
→
→R
2
1
1
0

Ejemplo 1.2. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y
si sacamos cruz X pagamos 1 euro. ¿ C´mo es la variable aleatoria X que
o
mide la ganancia?.
El espacio muestral es Ω = {C, X} entonces se tiene
X :

Ω
C
X

−→
→
→

R
1
−1

d
B
s=B+mv

SOCIALES

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Variables
Aleatorias

Definici´n 1.1 Una variable aleatoria discreta X es unafunci´n que asigna
o
o
valores num´ricos a los sucesos elementales de un espacio muestral
e
X :

MATEMATICAS
2º Bachillerato

Tabla N(0,1)

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Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o

4

r=A+lu

1.1. Funci´n de Probabilidad
o

A

Definici´n 1.2 Es la aplicaci´n que asigna a cada valor de la variable aleatoo
o
ria discreta X la probabilidad de que lavariable tome dicho valor
−→
[0, 1]
−→ P (X = xi )

SOCIALES

Ejemplo 1.3. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X,
n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz. La
u
funci´n de probabilidad de X es
o
1
px (2) = P (X = 2) = P (“CC ) =
4
2
px (1) = P (X = 1) = P (“CX, XC ) =
4
1
px (0) = P (X = 0) = P (“XX ) =
4
o
Es habitual expresar lafunci´n de probabilidad en una tabla de la forma
xi
0 1 2
px (xi )

1
4

2
4

d
B
s=B+mv

1
4

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Variables
Aleatorias

px : X
xi

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Tabla N(0,1)

Observa que se tiene que cumplir
n

px (xi ) = 1
i=1

(1)

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5

Ejemplo 1.4. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y
si sacamos crus Xpagamos 1 euro. Describir la funci´n de probabilidad de
o
la variable aleatoria X que mide la ganancia.
xi
1
−1
px (xi )

1/2

1/2

Ejemplo 1.5. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o
dada por la tabla.
xi
−2
−1
0
1
2
px (xi )

0.08

0.32

0.05

a

0.32

Hallar el valor de a, P (X = 1), P (X ≥ 1) y P (X ≤ −1).
Soluci´n:
o
n

• Como

px (xi )= 1 ⇒ 0.08 + 0.32 + 0.05 + a + 0.32 = 1; a = 0.23
i=1

• P (X = 1) = px (1) = a = 0.23
• P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.23 + 0.32 = 0.55

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A

d
B
s=B+mv

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Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o

Tabla N(0,1)

• P (X ≤ −1) = P (X = −2) + P (X = −1) = 0.08 + 0.32 = 0.4
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