aleatorios

Experimentos con factores aleatorios

Diseño de experimentos – p. 1/36

Introducción

Hasta ahora hemos supuesto que los factores de un
experimento son factores fijos, esto es, los niveles de los
factores usados en el experimento son los niveles específicos
de interés. Esto implica que las inferencias estadísticas que se
hagan sobre estos factores están limitadas a estos nivelesespecíficos estudiados.
En algunas situaciones experimentales, los niveles de un
factor se seleccionan al azar de una población grande de
posibles niveles, y el investigador quiere tener conclusiones
acerca de toda la población de niveles, no solamente de los
usados en el experimento.
En esta situación se dice que el factor es aleatorio.

Diseño de experimentos – p. 2/36

Introducción

Para elcaso de un solo factor, el modelo estadístico lineal es:
yij = µ + τi + ǫij
i = 1, . . . , a j = 1, . . . , n
donde µ es la media general, τi son los efectos aleatorios del
factor, ǫij es el error aleatorio. Se supone que τi y ǫij son
independientes y que se distribuyen:
ǫij

∼ N (0, σ 2 )

τi

2
∼ N (0, στ )

La varianza de cualquier observación es:
2
V (yij ) = στ + σ 2
2
στ yσ 2 se llaman componentes de varianza y el modelo se
llama modelo de efectos aleatorios o de componentes de
varianza.
Diseño de experimentos – p. 3/36

Introducción

Ahora lo que nos interesa es probar hipótesis acerca de la
2
componente de varianza στ .
2
H0 : σ τ = 0 ⇒

tratamientos iguales

2
H1 : σ τ > 0

variabilidad entre tratamientos

⇒

Se tiene que SSE ∼ χ2 −a dondeN = na, y bajo la hipótesis
N
σ2
nula SStrat ∼ χ2 , entonces, bajo H0 :
a−1
σ2
Fc =

CMtrat
SStrat /a − 1
=
∼ Fa−1,N −a
SSE/N − a
CM E

Diseño de experimentos – p. 4/36

Tabla de ANOVA

F.V.
Entre grupos
Dentro grupos
Total
Bajo H0 ,

g.l.
a−1
N −t
N −1

SS
SSA
SSE
SStot

CM
CMA
CM E

Fc
CMA /CM E

E(CM )
2
σ 2 + nστ
σ2

CMtrat = CM E = σ 2 .
ˆSi H0 no es cierta, CMtrat > CM E, por lo tanto rechazamos
H0 para valores grandes de Fc , es decir, rechazamos H0 si
α
Fc > Fa−1,N −a .

Diseño de experimentos – p. 5/36

Componentes de varianza
2
Interesa estimar los componentes de varianza (στ , σ 2 ) en el
modelo.

Existen varios procedimientos, el que veremos se llama
método de análisis de varianza o de momentos, ya que usa
lainformación de la tabla de ANOVA.
El método consiste en igualar la esperanza de cuadrados
medios a sus valores observados.
CMtrat
CM E
por lo tanto
σ2
ˆ
στ
ˆ2

2
= σ 2 + nστ

= σ2
= CM E
CMtrat − CM E
=
n

Diseño de experimentos – p. 6/36

Componentes de varianza

El método de análisis de varianza para estimar los
componentes de varianza es relativamente sencillo y buenocuando se tienen experimentos balanceados.
A veces este método de estimar las componentes de varianza
dá estimaciones negativas.
Algunos autores dicen que es evidencia de que la componente
es cero, aunque otros dicen que puede ser evidencia de que el
modelo es incorrecto.
Un método más reciente y que tiene buenos resultados es el
de máxima verosimilitud restringida, REML (éste es el métodorecomendado en JMP).

Diseño de experimentos – p. 7/36

Ejemplo

Una fábrica textil produce un tipo de tela en un número grande
de telares. Se desea obtener una tela de resistencia uniforme.
El ingeniero a cargo sospecha que además de la variación
usual en resistencia de muestras de tela del mismo telar,
puede haber variaciones en resistencia entre diferentes
telares.
Para investigaresto, selecciona al azar 4 telares y hace 4
determinaciones de resistencia en la tela producida por cada
telar. El experimento se corre en orden aleatorio.
Telar
Resistencia
1
98, 97, 99, 96
2
91, 90, 93, 92
3
96, 95, 97, 95
4
95, 96, 99, 98
ej12-1.jmp
Diseño de experimentos – p. 8/36

Ejemplo

F.V.
Telar
Error
Total

g.l.
3
12
15

Componente
Telar
Error...