Alebra lineal 5

5.4 Aplicación de las
transformaciones lineales
Reflexión, Dilatación, Contracción y
Rotación

Reflexión

En este caso, la situación es más sencilla ya queclaramente tenemos dos triángulos rectángulos que
son congruentes, de donde T queda definida como
sigue:
T (u1, u2)= (u1,-u2)
Esta transformación se llama la reflexiónsobre el eje
x y es lineal ya que:
T[(u1,u2) + ‫(ג‬v1,v2)]= T(u1 + ‫ג‬v1,u2 + ‫ג‬v2)
= (u1 + ‫ג‬v1, - u2 – ‫ג‬v2)
= (u1, - u2) + ‫(ג‬v1, - v2)
= T(u1,u2) +‫ג‬T(v1,v2)

Dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que
incrementa distancias.
Sea V= (2,4) encontrara la expansión vertical
cuando k= 2
Expansiónhorizontal (k71) o contracción (0 Expansión vertical (k71) o contracción (0
Contracción
Una contracción es una transformación que
decrece distancias. Bajo unacontracción,
cualquier par de puntos es enviado a otro par a
distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2,4) encontrara la contracción horizontal
cuandok= ½.
Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje
horizontal.

Rotación

Distribuyendo y usando en hecho de que u 1= ǁūǁ cosα y u2= ǁūǁ senα
tenemos que:
V1=u1 cosθ – u2 senθ
V2= u2 cosθ + u1 senθ
Por lo tanto ya descubrimos como debe estar definida la transformación:
T de R2 en R2
T (u1,u2)= (u1cosθ – u2senθ,u2cosθ +u1senθ)
•  
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y es lineal, ya
que:
T[(u1,u2) + ‫(ג‬v1,v2)]= T(u1 + ‫ג‬v1,u2 + ‫ג‬v2)
= ((u1 + ‫ג‬v1)cosθ – (u2+ ‫ג‬v2)senθ,(u2 + ‫ג‬v2)cosθ + (u1 + ‫ג‬v1)senθ)
= (u1cosθ – u2senθ,u2cosθ + u1senθ) + ‫(ג‬v1cosθ – v2senθ,v2cosθ + v1senθ)
= T(u1,u2) + ‫ג‬T(v1,v2)



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