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Algebra lineal Tareas Unidad 1

1. Para los S, T indicados, determ´ ınese si f : S → T define una funci´n; si no, expl´ o ıquese por qu´. e (a) S = conjunto de todos los seres humanos, T = conjuntode las mujeres, f (s) = madre de s. (b) S = conjunto de los enteros positivos, T = S, f (s) = s − 1. (c) S = conjunto de los enteros positivos, T = conjunto de los enteros no negativos (enterospositivos junto con el cero), f (s) = s − 1. (d) S = conjunto de los enteros no negativos, T = S, f (s) = s − 1. (e) S = conjunto de los enteros, T = S, f (s) = s − 1. (f) S = conjunto de los n´merosreales, T = S, f (s) = u √ s.

(g) S = conjunto de los n´meros reales positivos, T = S, f (s) = u

√

s.

2. En aquellas partes del Problema 1 en donde f define una funci´n, determ´ o ınese si estaes inyectiva, sobreyectiva o ambas cosas. 3. Sean S el conjunto de los enteros y T = {1, −1}; def´ ınase f : S → T como f (s) = 1 si s es par, f (s) = −1 si s es impar. (a) Determ´ ınese si esto defineuna funci´n de S en T . o (b) Demu´strese que f (s1 + s2 ) = f (s1 )f (s2 ) (en donde el lado derecho es la multie plicaci´n usual). o (c) Determ´ ınese si tambi´n es cierto que f (s1 s2 ) = f (s1 )f(s2 ). e Nota: Un n´mero a es par si existe un entero k tal que a = 2k y a es impar si u existe un entero k tal que a = 2k + 1. 4. Poner falso o verdadero seg´n sea el caso u (a) 8 ≡ 9(mod6) (b) 17 ≡5(mod3) (c) −23 ≡ 12(mod5) 1

5. Determ´ ınese si los siguientes conjuntos G con la operaci´n indicada forman un grupo. o Si no, ind´ ıquese cu´les axiomas de grupo no son v´lidos. a a (a) G =conjunto de los enteros, a b = a − b, con − la resta usual de enteros. (b) G = conjunto de los enteros, a b = a + b + ab, en donde las operaciones del lado derecho son la suma y multiplicaci´n usuales. o(c) G = conjunto de los enteros no negativos, a b = a + b. (d) G = conjunto de los n´meros racionales g sin el −1, a b = a + b + ab. u (e) G un conjunto que conste de m´s de un elemento, a b = a...