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La eficacia difiere de la eficiencia en el sentido que la eficiencia hace referencia en la mejor utilización de los recursos, en tanto que la eficacia hace referencia en la capacidad para alcanzar un objetivo, aunque en el proceso no se haya hecho el mejor uso de los recursos.

Podemos ser eficientes sin ser eficaces y podemos ser eficaces sin ser eficientes. Lo ideal sería ser eficaces y a lavez ser eficientes.

Se puede dar el caso que se alcanzó la meta de construir una autopista en un semana tal como se había previsto (fuimos eficaces), pero para poder construir la autopista, se utilizaron mas recursos de lo normal (no fuimos eficientes).

Caso contrario, se utilizaron un 10% menos de los recursos previstos para construir la autopista pero no se logró terminar en una semana(fuimos eficientes pero no eficaces).

Lo ideal sería construir la autopista en una semana y utilizar no más del 100% de los recursos previstos. En este caso seriamos tanto eficaces como eficientes.















Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos sedesigna como \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los reales se cumple que \scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C}. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indicacon la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente enla mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedadimportante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1



Índice [ocultar]1 Origen
2 Definición 2.1 Cuerpo de los números complejos
2.2 Unidad imaginaria

3 Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado 3.1 Valor absoluto o módulo de un número complejo
3.2 Argumento o fase
3.3 Conjugado de un número complejo

4 Representaciones 4.1 Representación binómica
4.2 Representación polar
4.3 Operaciones en forma polar

5 Plano de los números complejos o Diagramade Argand
6 Geometría y operaciones con complejos
7 Esbozo histórico
8 Aplicaciones 8.1 En matemáticas 8.1.1 Soluciones de ecuaciones polinómicas
8.1.2 Variable compleja o análisis complejo
8.1.3 Ecuaciones diferenciales
8.1.4 Fractales

8.2 En física

9 Generalizaciones
10 Véase también
11 Referencias 11.1 Bibliografía
11.2 Enlaces externos



Origen[editar]

El primero en usarlos números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea,...