Alfa

LA LINEA RECTA
I


Ejes de coordenadas
1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5

a
b
P(a, b)
x
y

El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes.

El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.

Sobre el sistema de ejes coordenados es puedenubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b), como lo muestra la figura.

En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P

Distancia entre dos puntos
x1
x2
y1
y2

x2 – x1
y2 – y1
x
y
P2
P1

Supongamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.

La distancia entre P1 y P2 se puededeterminar, por ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la siguiente manera:

Así la distancia de P1 a P2 es:



Ejemplo: La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:




Representación gráfica de la línea recta

En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas, las soluciones sonpares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5

L
x
y
Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4

Tabla de valores Gráfico

x | y | (x, y) |
2 | 2 | (2, 2) |
1 | 3 | (1, 3) |
0 | 4 | (0, 4) |
-1 | 5 | (-1, 5) |
| | |

Observaciones:* A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.

* Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación .

* Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta correspondiente.

PENDIENTE DE UN RECTA
x1
x2
y1
y2
Lx2 – x1
y2 – y1

x
y

Se denomina pendiente “m” de una recta al grado de inclinación “” que tiene respecto del eje de las abscisas (eje x)



Ejercicios

Supongamos que se tienen 4 rectas L1 , L2 , L3 y L4 de modo que :

L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1)
L2 pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5,2)
L3 pasa por los puntos: D(1,2) y E(1,-5)
L4 pasa por lospuntos: R(1,2) y T(-2,-6)

1. Grafica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

2. Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas.

3. Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de estas rectas con respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente.

4. ¿Qué ocurre cuando y2 = y1 ?, ¿y si x2 = x1 ?

Interpreta ydibuja las siguientes situaciones:

5. | 6. |


Dado el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,2), C(3,4) y D(7,4)

7. Demuestra que éste cuadrilátero es un paralelógramo.
8. Calcula el perímetro del paralelógramo.

Decimos que tres o mas puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta, determina, en cada caso, si lospuntos son o no colineales. Realiza además el gráfico correspondiente:

9. A(2, 3) ; B(4, 5) ; C(6, 7) | 10. A(-5, 1) ; B(1, 15) ; C(-4, 15) |

Haz el gráfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema de ejes coordenados y establece conclusiones válidas respecto a lo que observas en ellas.

11. L1 : y = 2x –1 | 12. L3 : x + y = -3 | 13. L4 : y = x |14. L5 : 2x – y + 3 = 0 | 15. L2 : y = x | 16. x + 2y = 1 |


Puntos de intersección de una recta
con los ejes coordenados
x
x
y
y
L


Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y donde corta al eje y , de la forma (0, y).




Ejemplo:
x
x
y
6

-4
Hallar la intersección...