Algún análisis de los números primos

Los Números Primos en el Análisis
November 16, 2010

Sandra Catalina Jiménez Alfonso 20062167022 Para el análisis de los números primos, plantee dos conjeturas, una de series y la otra sobre manejo de integrales en funciones primas. 1. ¾Qué pasa con

números primos?

1 p

donde la suma se extiende sobre todos los

2. El criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann, enfunciones relacionadas con primos.

Para el análisis de la serie de los inversos de los números primos, se estudia la denición de convergencia y divergencia en series. Para este caso se estudio la ∝ 1 divergencia de la serie armónica n=1 n , y con algunos algoritmos de Taylor 1 y Euler, se mostró que la serie p es divergente. En el criterio de Lebesgue tomamos dos funciones que varian en losprimos, se muestra como es el conjunto de discontinuidades, y se intenta mostrar que este conjunto tiene medida cero.
Introducción

Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles unicamente por si mismos y por la unidad, por dención el número 1 no es primo. El matemático Euclides demostró que los números primos son innitos. Los números primos han inquietado a los matemáticosdesde tiempos inmemorables y han surgido numerables problemas que motivan al estudio de este conjunto. El estudio de los números primos es parte importante de la teoría de números. También estan presentes en algunas conjeturas como la hipótesis de Riemann, la conjetura de Goldbach, la distribución de los números primos (tema de recurrente investigación), los cuatro problemas de Landau, la innitudde ciertos tipos de números primos, en fín el concepto de número primo se ha visto generalizado en diversas ramas de las matématicas.

1

Por otro lado, en el análisis matemático, una serie es la suma de los terminos de una sucesión, se representa como n ai siendo n el indice nal de la serie. i=1 Las series convergen o divergen; una serie diverge si no existe el limn→∝ n ai i=1 ó si tiende ainnto, converge si existe el limn→∝ n ai = L . Para enteder i=1 mejor estas deniciones de divergencia y convergencia, se puede decir que si las sumas parciales An estan acotadas superiormente, es lo mismo armar que la serie converge. De lo contrario que las sumas parciales no puedan estar acotadas superiormente es equivalente a la divergencia. Una relación de orden entre series, es unadenición importante para los criterios de comparación entre series, esta nos dice que si dos series ∝ ak y ∝ bk son 1 1 tales que existe un natural N tal que ak ≤ bk para todo indice k ≥ N , se dice que la serie ∝ bk es mayorante de la serie ∝ ak . ya teniendo clara está 1 1 denición, podemos nombrar el primer y segundo criterio de comparacion de series. El primer criterio toma dos series de terminos nonegativos 1 dominada por una serie convergente, es convergente; sean (an ) y (cn ) sucesiones de números reales no negativos, entonces si 0 ≤ an ≤ cn para todo n ∈ N y ck converge, entonces ∝ ak converge. El segundo criterio dice que una serie de terminos no 1 negativos que domina a una serie divergente, es divergente. Si 0 ≤ an ≤ dn para todo n ∈ N y ∝ dk diverge, entonces ∝ ak diverge. 1 Cadafunción es integrable de Riemann. Sabemos que la continuidad de f es ´b suciente para que exista la a f dx,con respecto a α dado que α esta acotada por el intevalo [a, b] .Sin embargo la continuidad no es ciertamente necesaria, f puede seruna función monótona con un conjunto de discontinuidades y aun ´b así la integral a f dx existe. Para el análisis de cuantas discontinuidades puede poseer unafunción siendo integrable, se utiliza el teorema dado por Lebesegue. Bueno sin más preámbulos, empezemos a trabajar.
Divergencia de la suma de los inversos primos

Para probar la divergencia de la suma de los inversos primos, analizare primero la serie armónica. La serie armónica diverge y su demostración es muy sencilla se la debemos a Nicolas Oresme2
∝ 1 n=1 n

=1+

1 2

+

1 3

+...