Alg_Deriv

Año académico: 2006-2007


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: Bach.
CCSS



Complementos teórico-prácticos.
Tema: Análisis diferencial, derivadas.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Cálculo diferencial.


Derivada de una función.
Es el valor de la tangente trigonométrica delángulo que la tangente geométri­ca, a la gráfica de la función en el punto, forma con el eje de abscisas.
(≡) Es el valor del límite del cociente incremental, o de la tasa de variación me­dia de la función (T.V.M.), cuando el incremento en la variable tiende a cero, es decir,, donde e , también, dicho de otro modo, en términos puntuales, , y si hacemos obtenemos lo dicho anteriormente.
La derivadade una función se puede escribir de varias formas, en función de cómo esté definida y de cuál sea la variable independiente, así:
.
Gráficamente:
De la gráfica se desprende que cuanto menor sea la distancia entre los puntos, la prolongación de la hipotenusa del triángulo formado por los incrementos de la variable y de la función, más se aproximará a la tangente a la gráfica por el punto de abscisax0.
Así pues, la ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función por un punto de coordenadas , será .
De igual modo, y en una primera aproximación, se cumple que para toda función f(x), (Imp_1)

Derivadas elementales aplicando la definición.
La función constante:
Por definición de derivada
La derivada de una constante es nula.
Ejemplos: ;
La función identidad:
Por definición dederivada
La derivada de la función identidad es la unidad.
Ejemplos: ;
La función inversa de x:
De la definición de derivada
La derivada de la función inversa de x es el opuesto de su cuadra­do.
Ejemplos: ;
La función cuadrática:
Por definición de derivada
La derivada de la función cuadrática es el doble de la función iden­tidad.
Ejemplos: ;
La potencia de la función identidad:
Pordefinición de derivada , ya que todos los términos que contienen h se anulan.
La derivada de una potencia es igual al exponente por la base ele­vada al exponente disminuido en una unidad.
Ejemplos: ;
NOTA Fijarse que , con lo que , es otra forma de calcular las derivadas de las inversas, así, tendrá por derivada
La función logaritmo Neperiano:
Por definición de derivada y por las propiedades delneperiano
La función exponencial:
La función seno:
La función coseno:
La función tangente: , ya que
Álgebra de derivadas.
Derivada de una suma de funciones:
Por definición de derivada

La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus de­rivadas. Ya podemos derivar polinomios, monomio a monomio.
Ejemplo:
Derivada del producto de una constante por una función:
Por ladefinición de derivada
La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Derivada del producto de funciones:
Por la definición de derivada
La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar, más la derivada de la segun­da por la primera sin derivar. Dicho de otro modo, la derivada deun producto de funciones no es igual al producto de sus derivadas.
Ejemplo:
Derivada de la inversa de una función:
Por definición de derivada
La derivada de la inversa de una función es igual a la opuesta de su derivada partido de su cuadrado.
Vista la función como una potencia de exponente negativo, y teniendo en cuenta la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, nosquedaría . También, me­diante la definición de derivada y la expresión (Imp_1) llegaríamos al mismo resultado.
NOTA No confundir la inversa de una función, , con su recíproca, , la cual es tal que
Ejemplo:
Derivada de un cociente:
De la derivada de un producto tenemos que con lo que , y escri­biéndolo como potencias de exponente positivo y reduciendo términos,
La derivada de un cociente de...