Alg Lineal

´ E.T.S. DE INGENIER´ INFORMATICA IA
Apuntes de

´ ALGEBRA LINEAL
para la titulaci´n de o

´ INGENIER´ TECNICA EN INFORMATICA IA ´ ´ DE GESTION

Fco. Javier Cobos Gavala Amparo Osuna Lucena Rafael Robles Arias Beatriz Silva Gallardo

Contenido
Portada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1 Matrices y determinantes 1.1 1.2 1.3 Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Aritm´tica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.4 1.5 Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . . Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . . 1 3 7 7 10 13 1415 17 22 23 25 27 28 29 32 37 38 40 45 47

Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . .

1.6 1.7

Factorizaci´n triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 C´lculode la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . . a

1.8 1.9

Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. 2.1 2.2 Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . .. . e o 2.2.1 2.3 Sistemas de ecuaciones lineales homog´neos . . . . . . e

Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 2.3.1 2.3.2 2.4

Contenido Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . . 51 54 63 65 68 75 78 80 80 82 83 84 86 99 109 109 116 117 119 121 122 125 137 145 146 147 151 157164

Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2 Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . . Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . .

2.5 2.6 2.7

Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . . Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios fundamentales asociados a una matriz. .. . . . . . . 2.7.1 2.7.2 2.7.3 Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . . Espacio fila de A: [R(AT )]. . . . . . . . . . . . . . . . . Espacio nulo de A: N (A). . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 2.9

Teorema de Rouche-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Ejercicios propuestos . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3 Aplicaciones lineales. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de una aplicaci´n lineal. . . . . . . . . . . . . . . . o Ecuaciones del n´cleo y la imagen de una aplicaci´n lineal . . u o Matrices equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Imagen inversa de una variedad lineal.. . . . . . . . . . . . . Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Ortogonalidad. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Formas bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contenido 5 Autovalores y autovectores 5.1 5.2 5.3 Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomio caracter´ ıstico de una matriz. . . . . . . . . . . . ....