Alg lineal

Algebra Lineal Problemas resueltos
M a Isabel Garc a Planas

3

Primera edición: septiembre de 1993 Segunda edición: septiembre de 1994

Diseño de la cubieta: Antoni Gutiérrez 

M. Isabel GarcíaPlanas, 1993

 Edicions UPC, 1993 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals:www.edicionsupc.es e-mail: edicions-upc@upc.es

Producción:

Servei de Publicacions de la UPC y CPDA AV. Diagonal 647, ETSEIB. 08028 Barcelona

Depósito legal: B-22.363-93 ISBN: 84-7653-295-4
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio oprocedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

A (JL)2 S & M a I

5

Primera edición: septiembre de 1993

Presentacion
Mis largos a~os de experiencia docente en la ETSEIB no solo impartiendo clases de n Algebra Lineal a los estudiantes de primer curso, sino preparando las coleccionesde ejercicios que los alumnos resuelven en sus clases de problemas, me han permitido reunir una coleccion de estos, en los que el alumno encuentra especial di cultad. Despues de resolverlos con todo detalle me ha surgido la idea de publicarlos para que puedan ser de utilidad, ya no solo a los alumnos de la ETSEIB, sino a alumnos de cualquier otra escuela politecnica e incluso a alumnos defacultades de ciencias. Algunos de los enunciados de los problemas estan inspirados en textos teoricos de Algebra Lineal y el orden y reparto en cap tulos ha sido, obviamente, fuente de inspiracion el programa de la asignatura de Algebra Lineal de la escuela donde ejerzo mi labor docente.

7

Primera edición: septiembre de 1993

INDICE Cap. 1 Polinomios . . . . . . . . . . . . Cap. 2 Espaciosvectoriales . . . . . . . . Cap. 3 Sistemas de ecuaciones. Matrices . Cap. 4 Aplicaciones lineales . . . . . . . Cap. 5 Determinantes . . . . . . . . . . Cap. 6 Diagonalizacion de endomor smos Cap. 7 Forma reducida de Jordan . . . . Cap. 8 Analisis matricial . . . . . . . . . Apendice I Grupos . . . . . . . . . . . . Apendice II Anillo de clases de resto . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . 23 . 39 . 51 . 73 . 85 . 99 . 117 . 131 . 141

9

Primera edición: septiembre de 1993

Polinomios y Fracciones racionales

11

Cap tulo 1 Polinomios y fraccionesracionales
1. Hallar el maximo comun divisor, por el algoritmo de Euclides, de los polinomios P1 (x) = 2156x5 + 1120x4 ; 433x3 ; 179x2 + 32x + 4 P2 (x) = 1372x5 + 784x4 ; 245x3 ; 131x2 + 16x + 4 Solucion:
Recordando el teorema de Euclides:

MCD(P1 (x) P2(x)) = MCD(P2 (x) R(x))
Siendo R(x) el resto de dividir P1 (x) entre P2 (x) Sabemos que

8 unidad en R x] y al ser 2156 = 4:72 :11 y 1372 =4:73 , multiplicaremos P1 (x) por 7 para evitar fracciones al hacer la division de P1 (x) por P2 (x) 7:P1 (x) = P2 (x):11 + (;784x4 ; 336x3 + 188x2 + 48x ; 16) R(x) = ;784x4 ; 336x3 + 188x2 + 48x ; 16 que simpli camos por ;4 quedando R(x) = 196x4 + 84x3 ; 47x2 ; 12x + 4 P2 (x) = R(x) (7x + 1) + 0 luego MCD(P2 (x) R(x)) = R(x)
MCD(P1 (x) P2(x)) = MCD( P1 (x) P2 (x))
por lo que:

MCD(P1 (x)P2(x)) = R(x) = 196x4 + 84x3 ; 47x2 ; 12x + 4
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

12

Algebra Lineal. Problemas resueltos

2. Hallar las ra ces del polinomio P (x) = x4 ; x3 ; 3x2 + 5x ; 2 sabiendo que
una de ellas es triple.

Solucion:
La descomposicion en factores primos del polinomio sera:

P (x) = (x ; )3 (x ; )
Si es una ra z triple de P (x) es ra z doble de P 0 (x) y...