AlgCBC Prac 4 EspVect18 Ejerc07

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIO 7.-

Estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de
vectores.
a) {(1,2,2),(-3,1,-1),(-1,5,3)}
A este lo vamosa resolver de 2 maneras. Va la primera: si son Linealmente Dependientes
entre si, uno de los vectores puede obtenerse como Combinación Lineal de los otros.
Entonces plantearemos esta condición yveremos si es así. Deben existir dos escalares a y b
tales que:
a.(1,2,2)+b.(-3,1,-1)=(-1,5,3) Planteando el sistema de ecuaciones con incógnitas a y b:
Planteando su matriz ampliada

⎧a − 3.b = −1
⎪
⎨2.a+ b = 5
⎪2.a − b = 3
⎩

⎛ 1 − 3 − 1⎞
⎜
⎟
⎜2 1 5 ⎟
⎜2 −1 3 ⎟
⎝
⎠

Triangulando

⎛ 1 − 3 − 1⎞
⎜
⎟
⎜0 7 7 ⎟
⎜0 5 5 ⎟
⎝
⎠

F 2 − 2. F 1
F 3 − 2. F 1

Finalmente

⎛ 1 − 3 − 1⎞
⎜
⎟
⎜0 7 7 ⎟
⎜0 0 0 ⎟
⎝
⎠El sistema resulta ser Compatible Determinado (pues el rango de la matriz de
coeficientes y el de la matriz ampliada son iguales y a su vez son iguales al número
de incógnitas), es decir que existendos escalares a y b que sirven para hacer con
los dos primeros vectores una Combinación Lineal y obtener así el tercer vector

Este mecanismo de platear un Sistema de ecuaciones es un poco engorroso.Otra forma de resolver esto es triangulando la matriz de vectores. Si se anula alguna fila, esa
es Combinación Lineal de las otras. Como dijo Soledad Silveyra ¡Adelante mis valientes!
Armamos la Matrizcon los vectores

Operamos

⎛ 1 2 2⎞
⎜
⎟
⎜ − 3 1 − 1⎟
⎜ −1 5 3 ⎟
⎝
⎠

F 2 + 3. F 1
F 3 + F1

⎛1 2 2⎞
⎜
⎟
⎜0 7 5⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠

⎛1 2 2⎞
⎜
⎟
⎜ 0 7 5⎟
⎜ 0 7 5⎟
⎝
⎠

F3 − F2

Vemos que una fila se anula,entonces los tres vectores no son
Linealmente Independientes.

De ahora en más vamos a usar el método de triangular la matriz

b)

⎧⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ − 1 1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎫
⎟⎟ , ⎜⎜
⎟⎟ , ⎜⎜
⎟⎟ , ⎜⎜
⎟⎟ ⎬⎨⎜⎜
⎩⎝ 2 − 1 ⎠ ⎝ − 2 2 ⎠ ⎝ 0 3 ⎠ ⎝ − 1 0 ⎠ ⎭

Escribimos las matrices como vectores
en una matriz

⎛ 1 − 2 2 − 1⎞
⎜
⎟
1 −2 2 ⎟
⎜ 0
⎜−1 1
0
3⎟
⎜⎜
⎟⎟
0
1
−
1
0
⎝
⎠

⎛ 1 − 2 2 − 1⎞
⎜
⎟
2⎟
⎜0 −1 2
⎜0 1 −...