AlgCBC Prac 4 EspVect18 Ejerc08al09 1

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIO 8.-

a)

Probar que {(a,b),(c,d)} el Linealmente Independiente en R2 si y sólo si:

⎛a b ⎞
det ⎜⎜
⎟⎟ ≠ 0
⎝c d ⎠
Si el determinante esdistinto de 0, entonces a.d-b.c ≠ 0 o a.d ≠ b.c
Ahora vamos a suponer que (a,b) es una Combinación Lineal de (c,d), entonces puedo
escribir (a,b)=k.(c,d), expresando componente a componente: a=k.c y b=k.dEntonces

k=

a
c

y k=

b
a b
si esto es así, entonces
o
=
d
c d

a.d=b.c, que está en

contradicción con la hipótesis inicial, por lo tanto la conclusión es falsa, o sea no se da que
(a,b) = k.(c,d)b) Hallar tres vectores ∈ a R3 que sean Linealmente Independientes y tales que todo
subconjunto formado por dos cualesquiera de ellos sea Linealmente Independiente
(¿?).
Demasiado fácil:(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)
EJERCICIO 9.-

Determinar los valores de reales de k para los cuales los siguientes conjuntos de
vectores son Linealmente Independientes.
a)

{(0,1,3),(-1,1,k),(1,-2,0)}

Armamos lamatriz

Cambiamos unas filas

1 3⎞
⎛0
⎟
⎜
⎜ −1 1 k ⎟
⎜ 1 − 2 0⎟
⎠
⎝

F1 < − > F 3

⎛1 − 2 0⎞
⎟
⎜
⎜0 −1 k ⎟
⎜ 0 1 3⎟
⎠
⎝
b)

F + F 1

⎛ 1 − 2 0⎞
⎟
⎜
⎜ −1 1 k ⎟
⎜0
1 3 ⎟⎠
⎝
0 ⎞
⎛1 − 2
⎜
⎟
k ⎟
⎜0 −1
⎜ 0 0 k +3⎟
⎝
⎠

F 2 + F1

Serán Linealmente Independientes
si k+3≠0, es decir si
k ≠ -3

{(1,-1,2),(k,k-1,k+6),(k-1,k,1)}

Armamos la matriz

−1
2 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
k −1 k + 6⎟
⎜ k
⎜ k −1 k
1 ⎟⎠
⎝

Cambiamos unasfilas

F 2 − F 1 .k
F 3 − F 1 .( k − 1 )

−1
2
⎛1
⎞
⎜
⎟
k −1+ k
k + 6 − 2k ⎟
⎜0
⎜ 0 k + 1.( k − 1) 1 − 2.( k − 1) ⎟
⎝
⎠

F3− F2

−1
2
⎛1
⎞
⎜
⎟
6−k
⎜ 0 2k − 1
⎟
⎜0
0
3 − 2k − (6 − k ) ⎟⎠
⎝

Pasando enlimpio

2 ⎞
−1
⎛1
⎜
⎟
⎜ 0 2k − 1 6 − k ⎟
⎜ 0 2k − 1 3 − 2k ⎟
⎝
⎠
Finalmente

−1
2 ⎞
⎛1
⎜
⎟
⎜ 0 2k − 1 6 − k ⎟
⎜0
0
− 3 − k ⎟⎠
⎝

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Los vectores serán Linealmente Independientes si -3-k ≠ 0 osea que k ≠ -3

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AlgebraCBC_Practica_4_EspaciosVectoriales18.doc

20/12/2005

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

⎧⎛ k − 1 k + 1⎞ ⎛ 0 k + 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎫
⎟⎟ ,...