AlgCBC Prac 4 EspVect18 Ejerc12al13

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

EJERCICIO 10.-

¿?
EJERCICIO 11.-

Si {v1,v2,v3} es linealmente Independientes, ¿para qué valores de α y β es
{v1-α.v3,v1+β.v2,α.v2+β.v3} linealmente independiente.

¿?
EJERCICIO 12.-

Hallar base y dimensión de los siguientes subespacios
a)

S={x ∈ R2 / 2.x1-5.x2=0}
como x ∈ R2, entonces x=(x1,x2), despejamos de la “ecuación característica” (megusta este
nombre) x2=2/5.x1 y reemplazamos en la expresión general de x y obtenemos x=(x1,2/5.x1)
Sacando factor común x1.
x=x1.(1,2/5) ese vector (1,2/5) es una base de S y la dimensión de S es n.

b)

S={x ∈ R3 / 2.x1-x2-x3=0}
como x ∈ R3, entonces x=(x1,x2,x3), despejamos de la “ecuación característica” el x3. y
hacemos como en el punto anterior.
x3=2.x1-x2
x=(x1,x2,x3) = (x1,x2, 2.x1-x2) =(x1,0, 2.x1) + (0,x2,-x2) = x1 (1,0,2) + x2 (0,1,-1)
Entonces <(1,0,2),(0,1,-1)> es una base de S y su dimensión es 2.

c)

S={x ∈ R5 …………} ¿? En mi copia estaba borroneado el enunciado. /

d)

⎧
⎪
S = ⎨x ∈ R4
⎪
⎩

⎫
⎛1 −1 0 1⎞
⎟
⎜
⎪
/ ⎜ 0 1 − 2 2 ⎟ . x = 0⎬
⎜ 2 − 1 − 2 3⎟
⎪
⎠
⎝
⎭

Esto en definitiva es como los casos anteriores sólo que expresado de una manera distinta.
Si desarrollamos el productode matrices, tendremos 3 ecuaciones de las que yo llamo
“características” y de ahí puedo despejar una componente en función de las otras como
hicimos en los ejercicios anteriores. Si bien se puede hacer así, lo vamos a hacer
triangulando para encontrar de manera más sencilla la relación entre las componentes.
Recordemos que al triangular las ecuaciones, vamos a hallar otro sistema de ecuacionesequivalente.

⎛ 1 − 1 0 1 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 − 2 2 0⎟
⎜ 2 − 1 − 2 3 0⎟
⎝
⎠

⎛ 1 − 1 0 1 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 − 2 2 0⎟
⎜0 0
0 1 0 ⎟⎠
⎝

F 3 − 2. F 1

⎛ 1 − 1 0 1 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 − 2 2 0⎟
⎜ 0 1 − 2 1 0⎟
⎝
⎠

Reconstruimos el
Sistema de ecuaciones

Replanteando las
relaciones

x1-x2+0x3+x4=0

x4=0

+x2-2x3+2x4=0

+x2-2x3=0 … x2=2x3

x4=0

x1-=x2

F 3 − .F 1

… x1-=2.x3

Ahora será: x=(x1,x2,x3,x4) = (2.x3,2.x3,x3,0) =x3 (2,2,1,0)
La base de S es <(2,2,1,0)> y su dimensión es 1.

e)

S={x ∈ R4 / x1-x2 = x3+x4= 2x2+x3}
Reordenando las “ecuaciones características” x1-x2 = x3+x4 y x3+x4= 2x2+x3
x1-x2 - x3-x4 = 0 y
x4= 2x2

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20/12/2005

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

x1-x2 - x3- 2.x2 = 0
x3=-3.x2 + x1
Ahorax=(x1,x2,x3,x4) = (x1,x2,-3.x2+x1,2.x2) = (x1,0,x1,0) + (0,x2,-3x2,2.x2) = x1 (1,0,1,0) + x2
(0,1,-3,2)
Entonces <(1,0,1,0),(0,1,-3,2)> es una base de S y su dimensión es 2.

f)

⎧
S = ⎨x ∈ R 2x2
⎩

⎛ 1 − 1⎞
⎛ 1 − 1⎞ ⎫
/ ⎜⎜
⎟⎟ . x = x. ⎜⎜
⎟⎟ ⎬
⎝2 1 ⎠
⎝ 2 1 ⎠⎭

Esta suena un poco más complicada, pero vamos a expresar como un sistema de
ecuaciones a la restricción impuesta

⎛ 1 − 1⎞
⎛ 1 − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟ . x = x.⎜⎜
⎟⎟
⎝2 1 ⎠
⎝2 1 ⎠
⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x11
⎜⎜
⎟⎟ . ⎜⎜
⎝ 2 1 ⎠ ⎝ x 21

⎛x
Si x = ⎜⎜ 11
⎝ x 21

x12 ⎞ ⎛ x11
⎟=⎜
x 22 ⎟⎠ ⎜⎝ x 21

Planteando la igualdad de los
productos e matrices en términos de
ecuaciones convencionales

x12 ⎞
⎟
x 22 ⎟⎠

x12 − x 22 ⎞ ⎛ x11 + 2 x12
⎟=⎜
2 x12 + x 22 ⎟⎠ ⎜⎝ x 21 + 2 x 22

x12 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x11 − x 21
⎟.⎜
⎟ ⎜
x 22 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 x11 + x 21

− x11 + x12 ⎞
⎟
− x 21 + x 22 ⎟⎠Reordenando las ecuaciones
x11-x21=x11+2 x12

x21+2 x12 = 0

x12-x22=-x11+x12

x22=x11

2 x11+x21=x21+2 x22

2 x11=2 x22 (esta es igual a la 2º)

2 x12+x22=-x21+x22

2 x12=-x21 (esta equivale a la 1º)

Obtenemos

Reemplazando en un elemento genérico

x21 = -2 x12

⎛x
x = ⎜⎜ 11
⎝ x 21

x22 =x11

x12 ⎞ ⎛ x11
⎟=⎜
x 22 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 x12

x12 ⎞
⎟
x11 ⎟⎠

Descomponiendo

⎛x
x = ⎜⎜ 11
⎝ 0
g)

0 ⎞ ⎛ 0
⎟+⎜
x11 ⎟⎠ ⎜⎝− 2 x12

⎛ 1 0⎞
x = x11 . ⎜⎜
⎟⎟ + x12
⎝ 0 1⎠

x12 ⎞
⎟
0 ⎟⎠

⎛ 0 1⎞
. ⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 2 0⎠

S = <(1,-1,3),(3,1,1)>
Como esos dos vectores son Linealmente independientes (triangulá vos), esos conforman
una base y la dimensión es 2.

h)

S = <(2,6,-1),(-1,-3, ½ )>
Como esos dos vectores no son Linealmente Independientes (triangulá vos), esos NO
conforman una base y la dimensión es 1.

i)

⎛ 2 1⎞ ⎛...