Algcom

Carlos Ivorra Castillo

´
ALGEBRA
´
HOMOLOGICA
Y
´
ALGEBRA
CONMUTATIVA

Los ge´
ometras se imaginan las matem´
aticas, los
analistas las hacen y los algebristas las entienden.

´Indice General
Introducci´
on

1

vii

´
Algebra
homol´
ogica

1

Cap´ıtulo I: Funtores derivados
1.1 Haces . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Espacios anillados . . . . . . . . . .
1.3 Categor´ıas y funtores . . .. . . . . .
1.4 M´
odulos inyectivos y proyectivos . .
1.5 Complejos . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Resoluciones inyectivas y proyectivas
1.7 Funtores derivados . . . . . . . . . .
1.8 Caracterizaci´
on axiom´
atica . . . . .

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Cap´ıtulo II: Ejemplos de funtores derivados
2.1 Los funtores Tor . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Grupos de cohomolog´ıa . . . . . . . . . .
2.3 M´
odulos localmente libres . . . . . . . . .
2.4 Los funtores Ext . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Cohomolog´ıa en espacios paracompactos .
2.6 La cohomolog´ıasingular . . . . . . . . . .
2.7 La cohomolog´ıa de Alexander-Spanier . .
2.8 La cohomolog´ıa de De Rham . . . . . . .
2.9 La estructura multiplicativa . . . . . . . .

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Algebra
conmutativa

Cap´ıtulo III: La geometr´ıa af´ın
3.1 M´
odulos de cocientes . . . .
3.2 Conjuntos algebraicos afines
3.3 La topolog´ıa de Zariski . . .
3.4 El espectro de un anillo . .
3.5 Primos asociados . . . . . .

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´INDICE GENERAL

vi
3.6
3.7
3.8

Extensiones enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
La dimensi´
on de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Funciones regulares . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 139

Cap´ıtulo IV: Anillos locales
4.1 Compleciones . . . . . . . . . . .
4.2 Topolog´ıas inducidas por ideales
4.3 Anillos y m´
odulos artinianos . . .
4.4 El polinomio de Hilbert . . . . .
4.5 El teorema de la dimensi´
on . . .

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152
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Cap´ıtulo V: Regularidad
5.1 El teorema de la altura . . .
5.2 Anillos locales regulares . .
5.3 Sucesiones regulares . . . .
5.4 Anillos de Cohen-Macaulay
5.5 La dimensi´
on proyectiva . .
5.6 Variedades regulares . . . .

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Ap´
endice A: M´
odulos planos

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Ap´
endice B: Im´
agenes directas e inversas de m´
odulos

247

Bibliograf´ıa

255

´
Indice de Materias

256

Introducci´
on
El prop´
osito original deeste libro era presentar los resultados sobre ´algebra
conmutativa necesarios para un futuro libro de geometr´ıa algebraica moderna
(teor´ıa de esquemas). Algunos de estos resultados requieren para su demostraci´
on una base de ´algebra homol´
ogica, que en una primera redacci´
on aparec´ıa
intercalada en los distintos cap´ıtulos a medida que iba siendo necesaria y, para
las demostraciones,...