Algeba

INVERSA DE UNA MATRIZ.- Una matriz es invertible siempre y cuando exista una matriz D de n x n, tal que al multiplicar por la matriz primitiva que la denominaremos como A se produzca la siguiente relación y donde a la matriz D la denominaremos como inversa de A y su denotación será ademásserá la matriz identidad de orden n así las relaciones se dan de la siguiente manera:



TEOREMAS

a)Una matriz que no tiene inversa se denomina no invertible o simplemente singular.

b) Una matriz que tiene inversa se denomina invertible o simplemente no singular.

c) Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única. [4]

d) Las matrices no cuadradas no tienen inversas.[5]

La resolución de la inversa de una matriz se consigue con la consecución de loa siguientes pasos queserán relatados a continuación:

Dada la matriz a conseguir la inversa se debe verificar que esta tenga el mismo número de filas como de columnas es decir sea una matriz de n x n



A continuación se procede a colocar la matriz identidad a lado de la matriz que se requiere la inversa.



Mediante el proceso de Gauss – Jordan se procede a convertir la matriz que se requiere la inversa en laidentidad



Así la matriz que se encuentre en la posición de la identidad será la inversa de la matriz deseada.[6]

TRANSPUESTA.- La transpuesta de una matriz de m x n no es más que el cambio de filas por columnas, así la nueva matriz será de n x m, la denotación de la transpuesta de una matriz es la siguiente.

Una matriz denominada simétrica es aquella cuya matriz es igual a latranspuesta, en donde se cumple la siguiente condición:

La transpuesta de nos regresa a la matriz original A, además la transpuesta de una matriz triangular inferior es una triangular superior.[7]



TEOREMAS

a) La transpuesta de AB es

b) La transpuesta de la inversa de una matriz es

Determinante
El determinante es un número real asociado con una matriz mediante la funcióndeterminante. El determinante de una matriz de 1 x 1 es igual a su elemento. La denotación del determinante se da de la siguiente manera:



OPERACIONES CON DETERMINANTES.- Las operaciones con determinantes son todas las operaciones que se pueden realizar sobra la matriz para resolución de su determinante y que no alteren su resultado, todo esto nos lleva a las propiedades de los determinantes que serámostradas a continuación:

Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante por medio de matrices de permutación, su valor no se modifica, como sabemos todo lo que decimos para las filas también podemos decir para las columnas.



Si todos los elementos de una fila o columna son nulos, el determinante será cero.



Si se permutan dos filas o columnas iguales, el valor deldeterminante cambia de signo.



Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales su valor es cero.



Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un mismo escalar k, el valor del determinante queda multiplicado por K



Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son suma de dos o más términos, el determinante es igual ala suma de dos o más determinantes.



Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se suman con los elementos correspondientes de otra por un escalar k, el valor de determinante no varía.



Formas de reducción
La forma de reducción es el pasar una matriz a una triangular superior o inferior, en tal caso la resolución del determinante se reduce al producto de sudiagonal.

2.4.1 DESARROLLO CON EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN.- Cuando realizamos la eliminación escogiendo los pivotes mediante el método de Gauss – Jordan la matriz que obteníamos era una triangular superior, así de esta manera el determinante de una matriz triangular superior se reduce al cálculo de el producto de su diagonal, en este punto es muy importante las matrices de permutación ya que nos...