ALGEBRA 2 CAPITULO 1

Capítulo 1

Sistema de ecuaciones y
Matrices
1.1.

Sistemas lineales de ecuaciones

Una ecuación lineal es una expresión del tipo
a1 x1 + a2 x2 · · · + an xn = b
donde a1 , . . . , an , b ∈ R.
A continuación daremos la terminología que utilizaremos:
A los números a1 , . . . , an los llamaremos coeficientes, al número b le llamaremos término independiente, y a x1 , . . . , xn les llamaremosincognitas.
En el caso que b = 0 a la ecuación le llamaremos homogénea, en caso
contrario le llamaremos no homogénea.
Un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas, es un conjunto de ecuaciones lineales de la siguiente forma:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn

=

b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn

=
···

b2

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

=

bm

(1.1)

donde aij ∈ R con i = 1, . . . , m, j = 1,. . . , n, y x1 , . . . , xn las incognitas.
En el caso que b1 = . . . = bm = 0 a la ecuación le llamaremos homogénea,
en caso contrario le llamaremos no homogénea.

1

CAPÍTULO 1. SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES

2

Al conjunto de las soluciones del sistema le llamaremos conjunto solución.
Si el sistema tiene solución le llamaremos consistente, en caso contrario
diremos que es inconsistente.Ejemplos 1
1. Sistema de tres ecuaciones y dos incognitas
2x1 + 3x2
5x1 + 2x2

= 0
= 1

2. Sistema de tres ecuaciones y tres incognitas
3x1 + x2 − x3
2x1 + 12 x2 + 4x3
5x1 − 4x2 − x3

= 5
= 0
= 8

Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo número de incognitas, ecuaciones y también el mismo conjunto solución.
Para obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a 1.1,basta realizar las siguientes operaciones (elementales) entre las ecuaciones de 1.1:
Intercambiar de posición las ecuaciones,
Multiplicar una ecuación por una constante (no cero),
Sumar a una ecuación un multiplo de otra.
Para encontrar la solución de 1.1 necesitamos encontrar un sistema equivalente
más sencillo mediante operaciones elementales.
Ejemplos 2
1. Resolver el siguiente sistema lineal
3x1+ 2x2
x1 + x2

= 7,
= 3,

E1
E2

mediante operaciones elementales.
Intercambiamos las ecuaciones E1 y E2
x1 + x2
3x1 + 2x2

= 3,
= 7,

E2
E1

A E1 le restamos 3E2
x1 + x2
−x2

=

3,

= −2,

E2
E1

CAPÍTULO 1. SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES

3

multiplicandole −1 a E1
x1 + x2
x2

= 3,
= 2,

E2
E1

= 1,
= 2,

E2
E1

restandole a E2 la ecuación E1
x1
x2

así obtuvimos un sistema equivalente mássencillo que nos da la solución
del sistema original.
2. Resolver el siguiente sistema lineal
x1 + x2 + 3x3
2x1 + 3x2 − 5x3

= 12,
= −21,

E1
E2

5x1 + 2x2 + 5x3

=

E3

23,

mediante operaciones elementales.
A E2 le restamos 2E1 , y a E3 le restamos 5E1
x1 + x2 + 3x3
x2 − 11x3

= 12,
= −45,

E1
E2

−3x2 − 10x3

= −37,

E3

= 12,
= −45,

E1
E2

a E3 le sumamos 3E2
x1 + x2 + 3x3
x2 − 11x3
−43x3

=−172,

E3

multiplicando E3 por −1/43
x1 + x2 + 3x3
x2 − 11x3
x3

=

12,

= −45,
= 4,

E1
E2
E3

restando a E1 la ecuación 3E3 , y sumando a E2 la ecuación 11E3
x1 + x2
x2
x3

= 0,
= −1,
= 4,

E1
E2
E3

x3

= 0,
= −1,
= 4,

E1
E2
E3

finalmente restando E2 a E1
x1
x2

así obtuvimos un sistema equivalente más sencillo que nos da la solución
del sistema original.

CAPÍTULO 1. SISTEMA DE ECUACIONES YMATRICES

1.2.

4

Matrices en un sistema de ecuaciones

Una matriz A de orden m × n (m filas, n
de números reales:

a11 a12
 a21 a22

A= .
..
 ..
.
am1 am2

columnas) es un arreglo rectangular

· · · a1n
· · · a2n 

..  ,
..
.
. 
···

amn

también se denota
A = (aij )j=1,...,n
i=1,...,m
Observación 1
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y cada una de sus entradas
coinciden.Ejemplos 3
1. Matriz 2 × 2

1 2
3 4

2. Matriz 2 × 3

3. Matriz 3 × 3

1
3

5
3

2
1

1
 0
0

1
1
2


1
2 
1



Dado un sistema de m ecuaciones con n incognitas
a11 x1 + · · · + a1n xn
a21 x1 + · · · + a2n xn
..
.
am1 x1 + · · · + amn xn
le asociamos la matriz de orden m × n

a11 a12
 a21 a22

A= .
..
 ..
.
am1

am2

···
···
..
.

=
=

b1
b2

= bm

a1n
a2n
..
.

· · · amn





...