Algebra Abstracta Notas de curso
Páginas: 68 (16897 palabras)
Publicado: 13 de julio de 2015
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA.
´
ESCUELA DE MATEMATICA.
´
ALGEBRA
ABSTRACTA
Notas de curso
´
MARCO A. PEREZ
B.
Octubre, 2012.
´ n basadas en un curso dado por In´
Estas notas esta
es Nu˜
nez en la Universidad Central de
´ n es responVenezuela entre finales de 2005 y principios de 2006. Cualquier error u omisio
sabilidad del autor.
En la portada: una imagen del cubo de Rubik, cuyaspermutaciones forman una estructura
´ lgebra.
de grupo, objeto de estudio fundamental en el a
i
ii
TABLA DE CONTENIDOS
1
2
3
4
´
NUMEROS
ENTEROS
1
1.1
El Principio del Buen Orden
1.2
Divisibilidad
1.3
M´ınimo com´
un m´
ultiplo
1.4
Relaciones de equivalencia y conjunto cociente
1.5
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
GRUPOS
13
2.1
El concepto de Grupo. Ejemplos
2.2
Grupos finitos
2.3
Subgrupos
2.4
Permutaciones
2.5Homomorfismos
2.6
Clases laterales y clases de congruencia
2.7
Subgrupos normales
2.8
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28
ANILLOS
31
3.1
El concepto de Anillo. Ejemplos
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2
Subanillos e ideales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.3
Ideales principales y maximales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4
Anillo cociente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.5
Homomorfismos deanillos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.6
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
CUERPOS
41
4.1
El concepto de Cuerpo. Ejemplos
4.2
Cuerpo cociente
4.3
Caracter´ıstica de un polinomio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
iii
5
ANILLOS DE POLINOMIOS
45
5.1
Elementos algebraicos y trascendentes sobre un anillo
5.2
Polinomios de varias variables
5.3
Anillos euclidianos
. . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
BIBLIOGRAF´
IA
51
iv
CAP´ITULO 1
´
NUMEROS
ENTEROS
1.1
El Principio del Buen Orden
Para comenzar estas notas, recordemos al conjunto N de los n´
umeros naturales, el cual posee dos operaciones
binarias, la suma y la multiplicaci´
on:
+ : N × N −→ N
(a, b) → a + b,
· : N × N −→ N
(a, b) → a · b.
Antes de que estudiemos losgrupos como una de las estructuras fundamentales en el ´algebra, es bueno que
sepamos que existen extructuras m´
as simples que el grupo, por ejemplo el monoide, que es sencillamente un
conjunto no vac´ıo con una operaci´
on binaria asociativa. Por ejemplo, N es un monoide, ya sea con respecto
a + o a ·. Es probable que la propiedad asociativa sea la m´as importante dentro de las que se estudian...
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ESCUELA DE MATEMATICA.
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ALGEBRA
ABSTRACTA
Notas de curso
´
MARCO A. PEREZ
B.
Octubre, 2012.
´ n basadas en un curso dado por In´
Estas notas esta
es Nu˜
nez en la Universidad Central de
´ n es responVenezuela entre finales de 2005 y principios de 2006. Cualquier error u omisio
sabilidad del autor.
En la portada: una imagen del cubo de Rubik, cuyaspermutaciones forman una estructura
´ lgebra.
de grupo, objeto de estudio fundamental en el a
i
ii
TABLA DE CONTENIDOS
1
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4
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NUMEROS
ENTEROS
1
1.1
El Principio del Buen Orden
1.2
Divisibilidad
1.3
M´ınimo com´
un m´
ultiplo
1.4
Relaciones de equivalencia y conjunto cociente
1.5
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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GRUPOS
13
2.1
El concepto de Grupo. Ejemplos
2.2
Grupos finitos
2.3
Subgrupos
2.4
Permutaciones
2.5Homomorfismos
2.6
Clases laterales y clases de congruencia
2.7
Subgrupos normales
2.8
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ANILLOS
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3.1
El concepto de Anillo. Ejemplos
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2
Subanillos e ideales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3
Ideales principales y maximales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4
Anillo cociente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5
Homomorfismos deanillos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CUERPOS
41
4.1
El concepto de Cuerpo. Ejemplos
4.2
Cuerpo cociente
4.3
Caracter´ıstica de un polinomio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
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44
iii
5
ANILLOS DE POLINOMIOS
45
5.1
Elementos algebraicos y trascendentes sobre un anillo
5.2
Polinomios de varias variables
5.3
Anillos euclidianos
. . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
BIBLIOGRAF´
IA
51
iv
CAP´ITULO 1
´
NUMEROS
ENTEROS
1.1
El Principio del Buen Orden
Para comenzar estas notas, recordemos al conjunto N de los n´
umeros naturales, el cual posee dos operaciones
binarias, la suma y la multiplicaci´
on:
+ : N × N −→ N
(a, b) → a + b,
· : N × N −→ N
(a, b) → a · b.
Antes de que estudiemos losgrupos como una de las estructuras fundamentales en el ´algebra, es bueno que
sepamos que existen extructuras m´
as simples que el grupo, por ejemplo el monoide, que es sencillamente un
conjunto no vac´ıo con una operaci´
on binaria asociativa. Por ejemplo, N es un monoide, ya sea con respecto
a + o a ·. Es probable que la propiedad asociativa sea la m´as importante dentro de las que se estudian...
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