algebra abstracta

The coordinate axes are normal in a direct product of groups
Let  and  be groups. Show that  is a normal subgroup of  and that .

We saw in a previous exercise that  is a subgroup of . Nowlet  and let . Then , so that  is normal in.
Define a mapping  by .
Let . Now , so that  is a homomorphism.
Suppose . Then , so that for some , . So , and  is injective.
Let . Note that . So for all , wehave . Thus  is surjective.
Prove that given subsets of a direct product are subgroups
Let  and  be groups. Prove that the following sets are subgroups of .


If , the set .

 is not emptysince . Now suppose . Then , so that . By the subgroup criterion, .
 is not empty since . Now suppose . Then , so that . By the subgroup criterion, .
 is not empty since . Now suppose ; then. By thesubgroup criterion, .
El Baile De La Ranita by N/A Este es el baile de la ranita Brinca brinca y levanta la manita Sacude sacude la cinturita Pega un brinco ya un dos tres (yo soy una ranita que si meponen musiquita me pongo a bailar y a gozar con mucho ritmo y sabor mas o menos asi) Yo tengo una ranita Que si oye musiquita Ella baila meneando Suavecito la colita Y brinca pa' un lado Y brinca pa'lotro Y se mueve con un ritmo bien sabroso Se empieza a medio alocar Dando vueltas ella empieza a cantar Este es el baile de la ranita Brinca brinca y levanta la manita Sacude sacude la cinturita Pegaun brinco ya un dos tres Este es el baile de la ranita Brinca brinca y levanta la manita Sacude sacude la cinturita Pega un brinco ya un dos tres Bailando pa' bajo Bailando pa' arriba Bailando pa' unlao Bailando pa'l otro Yo tengo una ranita Que se empieza a menear Cuando pongo musiquita No la puedo parar Y brinca pa' un lado Y brinca pa'l otro Y se mueve con un ritmo bien sabroso Se empieza amedio alocar Dando vueltas ella empieza a cantar Este es el baile de la ranita Brinca brinca y levanta la manita Sacude sacude la cinturita Pega un brinco ya un dos tres Este es el baile de la...