Algebra abstrcta

sabcn, en aritmetica de fracciones sucede que n ~ / n r/s si y solo si rns = nr.. Eslo = nos da un crilerio mas eficaz para resolver nueslro problema, a sabet,

Denotemos por a h el hecho de que a esli en la misma celda-que h para una particion dada de un conjunto que contenga tanto a a como a h . Es claro que siempre se satisfacen las propiedades siguientes:

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a a. Elelemento a esta en la misma celda que el mismo. S i a b enronces b a. Si a esta en la misma celda que 6, entonces h esta en la n,isma celda que a. Si a b y h c, enronces a C. Si a esta en la misma celda que b y h esta en la misma celda que c, enlonces a esta en la misma celda que c.

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El siguiente teorema es lundamental; afirma que una relacion entre elemenlos de un conjuntoque satislace las tres propiedades recien descritas. produce una particibn natural del conjunto. Muchas veces, exhibir una relacion con estas propiedades, es la Iorma mas concisa de describir una particion de un conjunto, y es por esla razon que analizamos ahora este material.

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Teorema 0.1 Sea S un conjunro no uacio y sea una relacidn enrre elemen10s & S que satisface lar propiedadessiguienres: I (Reflexividad)a a para rodas 10s a E S. 2 (Simerria) Si a b, enronres b a. 3 (Transirividad) Si a by b c, enronces a c. Enronces, produce una parricibn natural de S , donde

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es la celda que conriene a a pora roah las a E S. Reciprocamenle, -ada parricibn de S & lugar a una relacidn norural que sarisface las propiedades reflexha, simdrrica y rransiriua si sedefine a b como a E 6. Demosrraci6n Ya hemos demostrado la parte ccreciproca), del teorenm. , Para la afirmacibn directa. solo Ialta demostrar que las celdas definidas por ci = { x E S I x a] si consliluyen, en electo, una p-rtici6n de S, esto es. que todo elemento de S esta en exacramena una celda. Sea a E S. Entonas a € ci, por la condicion I, de modo que a esta en a1 menos una celda. Supongamosahora que a tambien esluviera en la celda 6. Es necesario mostrar que ii = 6 c o m o conjuntos; esto mostraria que a no puede estar en mas de una czlda. Para ello mostramos que cada elemento de ii esta en 6 y cada elemento de 6 esta en o'. Sea x E ii. Entonces, x a. Pero a E 6, luego a b; entonces, por la condicion transitiva (3),x b de modo que x E 5. Asi, ci es parte de 6. Sea ahora y e 6.Entonces y b. Pero a 6, de manera que a b y, por simetria (2), b a. Entonces, pot transitividad, y a, de modo que y E i. De aqui

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Operaclones binarias

LC&I cs el ingrediente bhsim del Upbra? El primer contacto de un nifio con el Blgebra se da cuando se le e n s e a sumar y multiplicar niimeros. Analicemos lo ~ que en realidad suaede. Supongamos que ustodesvisitan una civilizaci6n desconocida en un mundo deseonocido y observan a una criatura de cse mundo, en un salon de clases, ensmiando a sumar a otras criatuns. Supongamos a d r m b que ustedcs ignoran que el grupo apmnde a sumar, usledes simplemente crthn colocados en esa habitati6n como observadom y se pide h a a r un informe sobn lo que ban visto exactamente. El maestro m i t e unos ruidos que suenanaproximadamente como glup, poir. Los alumnos mponden bimr. A continuaci6n el maestro dice ompl. gafi y 10s alumnos mponden poil. iQuC a t h n hacicndo? Usteds no pueden informar que estkn sumando ncmeros, p u a ni siquiera wben que 10s sonidos represeatan n h r o s . Naturalmcntc, ustedcs mmprenden que existe mmunicac i b . Todo lo que pueden decir con scguridad es que e t a s criaturas conocenalguna ngla, de manera que al dcsignarse ciertos p a r a de cows en su lenguaje. una d s p h de otra, como glup, poir, eUos puoden ponerse de acuerdo en una mpuesta, b h t . Este proceso es igual al que ocurre en un aula de primer a80 a1 ensefiar a sumar; el maestro dice cuarro, side y 10s alumnos responden once. De este modo, al a n a l i r la suma y la multiplicacion de nttmeros, vemos que la...