Algebra basica

que

nes.

Expresiones algebraicas

CAPITULO

2

2.1

.

Exponentes enteros positivos

Los exponentes enteros positivos se asocian a un número real para indicar la multiplicación repetida de tal número. Por ejemplo, escribimos x • x • x = 'x 3 , en donde al entero positivo 3 se le llama exponente e indica que el numero real x se repite tres veceS como factor. En general, paracualquier entero positivo n y un número ¡real x,

xn =

~LX'X:'"

·X

n factores El entero positivo n se llama exponente de x y el número real x es la base. La expresión xn es una potencia y se lee como "x a la n-ésima potencia" o "x a la n". Ejemplos:

n,

o

(-2)3 = (-2)( -2)( -2) = -8 (t)4 = t· t . t .t = (2)5 = 2 ·2·2 • ~ • 2 = 32

32 = 3' 3 = 9

m

o

Se llama notaciónexponencial a la potencia entera positiva de alguna base, que representa a un número. Por ejemplo: 2 3 es la notación exponen­ cial de 8.

DEFlNICION 2.1. Para cualquier número real x, siendo n un entero positivo mayór que 1, Xl = X, Y xn = X' X· X· . . . • t, con n factores.

l

TEoREMA 2.2. Para todo número real

x, siend,o n un entero positivo:

1. Si x

> O,

entonces

xn

> O.4S

46

Expresiones algebraicas
2. Si

Exponentes enlerU"

l'u,.. u

.......

3. Si
4. Si

x < O, ·x < O, x = O,

entonces entonces

X

n> O

entonces xn

xn = O.

<

si n es par. O si n es impar.

TEOREMA 2.2.Para cualesquiera números reales X y Y siendo

ro y n enteros positivos:

e-l. xn .xm = xm+n •
e-2. [xm]n = xmn
.
e-3. [xy]n = xn • yn.

No sedará una demostración formal del teorema 2.1 sino se establecerá su validez de manera intuitiva. Consideremos inicialmente la primera parte del teorema. Puesto que el producto de dos números reales positivos es un número real positivo, la propiedad asociativa de la multiplicación asegura que el producto de n números reales positivos es un número real positivo. Por lo tanto,
,x.x.~

e-4.

Para yX

=1- O, ( Ti =1- O,
si

x)n
ro

=

yn'
entonces

xn

e-5. Para
si

= n,

xm = 1, xn

ro> n, entonces ro

xm xn
xm

= xm - n ,
1 = --. xn- m

...

~=xn>o

SI

.

< n,

entonces -

xn

n factores

·En la parte 2, x es negativo y n es un número entero par positivo, y por lo tanto x n es el producto de un ,número par de factores negativos. El pmductode dos cualesquiera de esos factores es positivo; pues el producto de dos números reales negativos es un número real positivo. Entonces se ve que xn es el producto de ..!!: fact0res positivos, de donde xn es positivo. Ahora estudiamos la parte 3. Puesto que x es negativo y n es impar, xn es el producto de un número impar de factores negativos. Asimismo, como n es impar, (n - 1) es par, yen estecaso

La validez de las leyes de los exponentes se establece fácilmente contando los factores de cada una de las expresiones dadas. Por ejemplo, en e-1 tenemos:

xm • xn = [x·

X· . • . • x] • [x· X· .••• x] ~ ~

m factores entonces,

n Jactores

2

Como el número total de factores en el miembro de la derecha es m

+ n,

xm. xn = xm+ n [xm]n = xm.xm •... ·xm
, '" .1Similarmente, en e-2 tenemos:

x·x·x·x·x ... x>O

(n - 1) factores
Entonces

n factores

(x • x • x • x . : . ) • x
v

O

(-3)2 = (-3)( -3) = 9> O (-4)3 = (-4)( -4)( -4) = -64

(2x3 y2)(3x 2y4) = (2)(3)(x3)(X 2)(y2)(y4) propiedades asociativa

y conmutativa

n
xm

factores

m-n

factores

, - ' -

, - ' ­

= 6X 5 y 6
EJEMPLO 2. Encontrar el producto (3x3 y2z4)3.

de lamultiplicación e·l

x

n

(x. X ... x) • (x • x ... x) x·x·x· .. x
'-v-'

n n
X·

factores

factores

m-n

factores

SOLUCION

-"-­

,-A-­

_ X· X ... X • (x. x ... x)
x··\
X
~

(3x 3y2 z4)3 = (3 3)(X3)3(y2)3(z4)3 = 27x9y6z 12 2X 7 2)2 . ( ~3)3 ..

e-3
e-2 ye-l

n

factores

EJEMPLO 3. Encontrar el producto

(

= xm ­ n
SOLUCION

Por otra parte, si m...