ALGEBRA BASICA

CAPÍTULO

1

Álgebra
Álgebra y algunos cálculos mentales
Una compañera nos sorprendió cuando, en una clase, necesitábamos calcular el área de un cuadrado de 75 cm por lado
y ella de inmediato respondió que el área era de 5625 cm2.
El profesor intrigado le preguntó que cómo había hecho la
operación tan rápido; a lo que ella contestó diciendo que
al 7 le sumó 1, cuyo resultado es 8, multiplicó éste(el 8)
por 7 obteniendo 56 y colocó el número 25 después del
56. Así obtuvo la respuesta. Nuestra compañera agregó
que este método lo había aprendido de su papá, quien le
comentó que sólo servía para números que terminaran en
5. El profesor se quedó pensativo probando con varios
números y, después de un rato, nos explicó lo siguiente:
“Este caso, realizar una operación con rapidez, se
puedeexplicar con el apoyo del álgebra”. “Veamos —dijo—, para representar un número que termine en 5, indicamos con d el número de decenas y así formamos el número:
10d ϩ 5
Al elevar este número al cuadrado —recuerden la forma de
elevar un binomio al cuadrado—, obtenemos:

(10d ϩ 5)2 ϭ 100d ϩ 100d ϩ 25
Si factorizamos los primeros dos términos del lado derecho, cuyo factor común es 100d, tenemos:
(10d ϩ 5)2ϭ 100d(d ϩ 1) ϩ 25
Con esto podemos entender la ‘regla’ para elevar con rapidez al cuadrado un número que termine en 5. Para ilustrar
el uso de esta regla, apliquémosla al ejemplo siguiente:
Elevemos (35)2.
a) Nos fijamos en el número de decenas, en este caso,
tres.
b) Éste lo multiplicamos por el dígito que es uno
mayor a él; cuatro.
c) Formamos el número que inicia con el resultado
anterior,12, y termina con 25; es decir, 1225”.
El profesor terminó comentando sobre la utilidad
del álgebra y de todo lo que nos puede ayudar en nuestra
vida profesional.
Con ayuda de esta regla, realice las siguientes operaciones:
1. 252
2. 652
3. 952
4. 1152
5. 7.52
6. 1052

Objetivo del capítulo

Este capítulo revisa las técnicas fundamentales de álgebra. Está dirigido a los estudiantes que,
por una uotra razones, lo necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas básicas.

TEMARIO

1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7

LOS NÚMEROS REALES
FRACCIONES
EXPONENTES
EXPONENTES FRACCIONARIOS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
FACTORIZACIÓN
FRACCIONES ALGEBRAICAS
REPASO DEL CAPÍTULO

1

1-1 LOS NÚMEROS REALES
Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los
números 1, 2, 3, etc., sedenominan números naturales. Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural.
Por ejemplo, 8 ϩ 5 ϭ 13 y 8 ϫ 5 ϭ 40; la suma 13 y el producto 40 son números
naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado
no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 Ϫ 5 ϭ 3 y 8 Ϭ 2 ϭ 4 son números naturales; pero 5 Ϫ 8 y 2 Ϭ 7no son números naturales. Así, dentro del sistema
de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir.
Con la finalidad de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). Deeste modo, podemos representar el sistema de los enteros mediante
. . . , Ϫ3,

Ϫ2, Ϫ1,

0,

1,

2,

3, . . .

Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos
o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo,
Ϫ3 ϩ 8 ϭ 5, (Ϫ3)(5) ϭ Ϫ15 y 3 Ϫ 8 ϭ Ϫ5 son enteros. Pero aún no podemos
dividir un entero entre otro y obtener un enterocomo resultado. Por ejemplo, vemos
que: 8 Ϭ (Ϫ2) ϭ Ϫ4 es un entero, pero Ϫ8 Ϭ 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos
dividir.
Para superar la limitación de la división, extendemos el sistema de los enteros
al sistema de los números racionales. Este sistema consiste de todas las fracciones
a/ b, donde a y b son enteros...